如圖,已知ABCD-A1B1C1D1是底面為正方形的長方體,∠AD1A1=60°,AD1=4,P為AD1的中點,(1)求證:直線C1P∥平面AB1C;(2)求異面直線AA1與B1P所成角的余弦值.

【答案】分析:(1)求證:直線C1P∥平面AB1C,取B1C中點Q,連接AQ,只需證明PC1∥AQ即可;
(2)求異面直線AA1與B1P所成角的余弦值,法一:作出異面直線所成的角,直接解三角形即可;法二:利用空間直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)向量,求數(shù)量積即可.
解答:解:(1)證明:取B1C中點Q,連接AQ,QC1,
則QC1∥AP且QC1=AP,所以四邊形APC1Q是平行四邊形,所以PC1∥AQ,
又AQ?平面AB1C,C1P?平面AB1C,所以直線C1P∥平面AB1C
(2)解法一:過點P作PE⊥A1D1,垂足為E,連接B1E(如圖),
則PE∥AA1,∴∠B1PE是異面直線AA1與B1P所成的角.
在 Rt△AA1D1中∵∠AD1A1=60°
∴∠A1AD1=30°
,,


∴在 Rt△B1PE中,
∴異面異面直線AA1與B1P所成角的余弦值為

解法二:以A1為原點,A1B1所在的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖示,
則A1(0,0,0),,B1(2,0,0),
,
=
∴異面異面直線AA1與B1P所成角的余弦值為
點評:本題考查直線與平面平行的判定,異面直線所成的角,考查學(xué)生邏輯思維能力,空間想象能力,是中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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(用分?jǐn)?shù)表示結(jié)果).

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