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【題目】如圖，在棱長為2的正方體中， ， ， ， 分別是棱， ， ， 的中點，點， 分別在棱， 上移動，且.

（1）當時，證明：直線平面；

（2）是否存在，使面與面所成的二面角為直二面角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】以為原點，射線， ， 分別為， ， 軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標系.由已知得， ， ， ， ， ， ，則， ， ， ， .

（1）當時， ，因為，所以，即，又平面，且平面，故直線平面.

（2）設平面的一個法向量為，則

由，得，于是可取.

設平面的一個法向量為，由，得，于是可取.

若存在，使面與面所成的二面角為直二面角，則，即，解得，顯然滿足.

故存在，使面與面所成的二面角為直二面角.

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓方程為，它的一個頂點為，離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線與橢圓交于， 兩點，坐標原點到直線的距離為，求面積的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： 的離心率，且過點．

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，過橢圓的右焦點作兩條相互垂直的直線交橢圓分別于，且滿足， ，求面積的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，已知圓經過， 兩點，且圓心在直線上．

（1）求圓的標準方程；

（2）過圓內一點作兩條相互垂直的弦，當時，求四邊形的面積．

（3）設直線與圓相交于兩點， ，且的面積為，求直線的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓過點，且橢圓的離心率．

（1）求橢圓的標淮方程；

（2）直線過點且與橢圓相交于、兩點，橢圓的右頂點為，試判斷是否能為直角．若能為直角，求出直線的方程，若不行，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為了調查一款電視機的使用時間，研究人員對該款電視機進行了相應的測試，將得到的數據統(tǒng)計如下圖所示：

并對不同年齡層的市民對這款電視機的購買意愿作出調查，得到的數據如下表所示：

愿意購買這款電視機

不愿意購買這款電視機

總計

40歲以上

800

1000

40歲以下

600

總計

1200

（1）根據圖中的數據，試估計該款電視機的平均使用時間；

（2）根據表中數據，判斷是否有99.9%的把握認為“愿意購買該款電視機”與“市民的年齡”有關；

（3）若按照電視機的使用時間進行分層抽樣，從使用時間在和的電視機中抽取5臺，再從這5臺中隨機抽取2臺進行配件檢測，求被抽取的2臺電視機的使用時間都在內的概率．

附：

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：，該橢圓經過點，且離心率為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設是圓上任意一點，由引橢圓的兩條切線，，當兩條切線的斜率都存在時，證明：兩條切線斜率的積為定值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）求的單調區(qū)間；

（2）若，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos2B＋cosB＝1－cosAcosC.

（1）求證：a，b，c成等比數列；

（2）若b＝2，求△ABC的面積的最大值．

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