【題目】數(shù)列的前項和為且滿足,為常數(shù),).

1)求;

2)若數(shù)列是等比數(shù)列,求實數(shù)的值;

3)是否存在實數(shù),使得數(shù)列滿足:可以從中取出無限多項并按原來的先后次序排成一個等差數(shù)列?若存在,求出所有滿足條件的值;若不存在,請說明理由.

【答案】1 2 3)存在,

【解析】

1)由,得,可知數(shù)列是以為首項,以為公差的等差數(shù)列,由等差數(shù)列的前項和得答案;

2)由數(shù)列是等比數(shù)列,得.結(jié)合已知求出,,代入可得;

3)當時,由(1)及,得,即數(shù)列是一個無窮等差數(shù)列.當,滿足題意.當時,利用反證法證明,從數(shù)列不能取出無限多項并按原來的先后次序排成一個等差數(shù)列.

1)由,得

∴數(shù)列是以為首項,以為公差的等差數(shù)列,

;

2)若數(shù)列是等比數(shù)列,則

,,

,得

3)當時,由(1)及,得,

即數(shù)列是一個無窮等差數(shù)列.

∴當,滿足題意.

時,∵,,即

下面用反證法證明,當,從數(shù)列不能取出無限多項并按原來的先后次序排成一個等差數(shù)列.

假設存在,從數(shù)列可以取出無限多項并按原來的先后次序排成一個等差數(shù)列.不妨記為

設數(shù)列的公差為

1)當時,,

∴數(shù)列是各項為正數(shù)的遞減數(shù)列,則

,

∴當,即,即時,,這與矛盾.

2)當時,令,解得,

時,恒成立,

∴數(shù)列是各項為負數(shù)的遞增數(shù)列,則

,∴,與矛盾.

綜上所述,是唯一滿足條件的的值.

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