Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，其中a為常數(shù)，設(shè)e為自然對數(shù)的底數(shù).

(Ⅰ) 當a=-1時，求f（x）的最大值；

(Ⅱ) 若f（x）在區(qū)間（0，e］上的最大值為-3，求a的值；

（Ⅲ） 當a=-1時，試推斷方程=是否有實數(shù)解.

 

Answer 1

【答案】

(1) =f（1）=-1     (2) a=     (3)沒有實數(shù)解.

【解析】(1)當a=-1,解析式確定，求直接求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究極值，最值即可.(2)因為,所以得討論：和兩種情況分別研究其最大值.然后根據(jù)求得的最大值等于-3,建立關(guān)于a的方程求a值.

(3) 由（1）知當a=-1時，=f（1）=-1,所以確定,

然后構(gòu)造函數(shù)研究的最大值，看g(x)的最大值能否大于1,若g(x)的最大值小于1,顯然無解.否則要進一步判斷解的情況

(1) 當a=-1時，f（x）=-x+lnx，f′(x)=－1+ 

當0<x<1時，f′(x)>0；當x>1時，f′(x)<0.

∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)

=f（1）=-1………………………3分

(2) ∵f′(x)=a+，x∈(0,e］，∈

① 若a≥，則f′(x)≥0，從而f(x)在(0,e］上增函數(shù)   

 ∴=f（e）=ae+1≥0.不合題意…………………………………4分

② 若a<，則由f′(x)>0>0，即0<x<

由f(x)<0<0，即<x≤e.

從而f(x)在上增函數(shù),在為減函數(shù)

∴=f=-1+ln………………………………………6分

令-1+ln=-3，則ln=-2

∴=，即a=. ∵<,∴a=為所求……………7分

(3) 由（Ⅰ）知當a=-1時=f（1）=-1，∴|f（x）|≥1…………………9分

又令g（x）=,g′（x）=,令g′(x)=0，得x=e,

當0<x<e時，g′(x)>0,g(x)  在(0,e)單調(diào)遞增；

當x>e時,g′(x)<0，g(x) 在(e,+∞)單調(diào)遞減

∴=g（e）= <1, ∴g(x)<1 ………………………10分

∴|f（x）|>g(x),即|f(x)|>  ∴方程|f（x）|=沒有實數(shù)解