Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)一切，點(diǎn)(n，S_n)在函數(shù)f(x)＝x²＋x的圖象上．

(Ⅰ)求a_n的表達(dá)式；

(Ⅱ)將數(shù)列{a_n}依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為(a₁)，(a₂，a₃)，(a₄，a₅，a₆)，(a₇，a₈，a₉，a₁₀)；(a₁₁)，(a₁₂，a₁₃)，(a₁₄，a₁₅，a₁₆)，(a₁₇，a₁₈，a₁₉，a₂₀)；(a₂₁)，…，分別計(jì)算各個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來(lái)括號(hào)的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為{b_n}，求b₅＋b₁₀₀的值；

(Ⅲ)設(shè)A_n為數(shù)列的前n項(xiàng)積，是否存在實(shí)數(shù)a，使得不等式對(duì)一切都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)點(diǎn)在函數(shù)上，.………1分 　　當(dāng)時(shí)，.…………2分 　　當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足..…………3分 　　(Ⅱ)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1233/0020/3f2eb5521da65eef14078ddb935fb958/C/Image135.gif" width=52 height=24>()，所以數(shù)列依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為(2)，(4，6)，(8，10，12)，(14，16，18，20)；(22)，(24，26)，(28，30，32)，(34，36，38，40)；(42)，….每一次循環(huán)記為一組．由于每一個(gè)循環(huán)含有4個(gè)括號(hào)，故是第25組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和．由分組規(guī)律知，由各組第4個(gè)括號(hào)中所有第1個(gè)數(shù)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為20.同理，由各組第4個(gè)括號(hào)中所有第2個(gè)數(shù)、所有第3個(gè)數(shù)、所有第4個(gè)數(shù)分別組成的數(shù)列也都是等差數(shù)列，且公差均為20.故各組第4個(gè)括號(hào)中各數(shù)之和構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為80.注意到第一組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和是68， 　　所以．又=22，所以=2010.………………8分 　　(Ⅲ)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1233/0020/3f2eb5521da65eef14078ddb935fb958/C/Image141.gif" width=93 height=45>，故， 　　所以． 　　又對(duì)一切都成立，即 　　對(duì)一切都成立．…………9分 　　設(shè)，則只需即可． 　　由于，…10分 　　所以，故是單調(diào)遞減，于是．……12分 　　令，即， 　　解得，或． 綜上所述，使得所給不等式對(duì)一切都成立的實(shí)數(shù)存在，的取值范圍是．……………………………14分