Question

已知A、B是拋物線y=1-x²上在y軸兩側(cè)的點(diǎn)，求過點(diǎn)A、B的切線與x軸圍成面積的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：本題先利用函數(shù)的對(duì)稱性，猜測(cè)兩切點(diǎn)的對(duì)稱，再利用導(dǎo)數(shù)求出曲線的切線方程，根據(jù)切線方程求三角形的面積，再研究其最小值．

解答： 解：由于拋物線y=1-x²關(guān)于y軸對(duì)稱，
不妨設(shè)點(diǎn)A（x₀，y₀）在拋物線上y軸的右側(cè)，研究過A點(diǎn)的切線與x軸、y軸圍成的三角形面積的最小值．
本題過點(diǎn)A的切線即以點(diǎn)A為切點(diǎn)．
∵y=1-x²，∴y'=-2x．
∴y0=1-x02，k=-2x₀．
∴切線方程為：y-1+x02=-2x0(x-x0)．
當(dāng)x=0時(shí)，y=x02+1，
當(dāng)y=0時(shí)，x=

x02+1

2x0

，
則該直線與x軸、y軸圍成的三角形面積為：

1

2

×(x02+1)×

x02+1

2x0

，（x₀＞0）
記f(t)=

(t2+1)2

4t

，(t＞0)．
f ′(t)=

3t4+2t2-1

4t2

=

3(t2+1)(t+ 3 3 )(t- 3 3 )

4t2

，
當(dāng)0＜t＜

3

3

時(shí)，f'（t）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)t＞

3

3

時(shí)，f'（t）＜0，f（x）單調(diào)遞增．
當(dāng)t=

3

3

時(shí)，f'（t）=0，f（x）取極小值，f(

3

3

)=

4 3

9

．
∴過拋物線y=1-x²上在y軸兩側(cè)的點(diǎn)A、B的切線與x軸圍成面積的最小值為

8 3

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是導(dǎo)數(shù)知識(shí)，用導(dǎo)數(shù)求切線方程，利用切線方程得到函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值．本題有一定的思維量和運(yùn)算量，屬于中檔題．