Question

已知a為常數(shù)，a∈R，函數(shù)f（x）=x²+ax-lnx，g（x）=e^x（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線y=f（x）的切線，設(shè)切點(diǎn)為P（x₀，y₀），求x₀的值；
（2）令F(x)=

f(x)

g(x)

，若函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，1]上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）斜率k等于函數(shù)在切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，x₀是方程的解，且y=x²+lnx-1在（0，+∞）上是增函數(shù)，可證求；
（2）F（x）=

f(x)

g(x)

=

x2+ax-lnx

ex

，F(xiàn)′（x）=

-x2+(2-a)x+a- 1 x +lnx

ex

，設(shè)h（x）=-x²+（2-a）x+a-

1

x

+lnx 由h'（x）在（0，1]上是減函數(shù)，可得h'（x）≥h'（1）=2-a，通過(guò)研究2-a的正負(fù)可判斷h（x）的單調(diào)性，進(jìn)而可得函數(shù)F（x）的單調(diào)性，可求參數(shù)的取值范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=2x+a-

1

x

（x＞0）所以切線的斜率k=2x₀+a-

1

x0

=

x02+ax0-lnx0

x0

，
整理得x₀²+lnx₀-1=0 顯然x₀=1是這個(gè)方程的解，
又∵為y=x²+lnx-1在（0．+∞）上是增函數(shù)，
∴方程x²+lnx-1=0有唯一實(shí)數(shù)解，故x₀=1，
（2）F（x）=

f(x)

g(x)

=

x2+ax-lnx

ex

，F(xiàn)′（x）=

-x2+(2-a)x+a- 1 x +lnx

ex

，
設(shè)h（x）=-x²+（2-a）x+a-

1

x

+lnx 則h′（x）=-2x+

1

x2

+

1

x

+2-a易知h′（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，從而h′（x）≥h′（1）=2-a，
（1）當(dāng)2-a≥0時(shí)，即a≤2時(shí)，h′（x）≥0，h（x）在（0.1）上是增函數(shù)
∵h(yuǎn)（1）=0，∴h（x）≤0在（0，1]上恒成立，即F′（x）≤0區(qū)間（0，1]上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以a≤2滿足題意，
（2）當(dāng)2-a＜0時(shí)，即a＞2時(shí)，設(shè)函數(shù)h′（x）的唯一零點(diǎn)為x₀，則h（x）在（0，x₀）上單調(diào)遞增，在（x₀，1）單調(diào)遞減，
又∵h(yuǎn)（1）=0，∴h（x₀）＞0，又∵h(yuǎn)（e^-a）＜0，
∴h（x）在（0，1）內(nèi)有唯一一個(gè)零點(diǎn)m，
當(dāng)x∈（0，m）時(shí)，h（x）＜0，當(dāng)x∈（m，1）時(shí)，h（x）＞0，從而F（x）在（0，m）上單調(diào)遞減，在（m，1）上單調(diào)遞增，與在區(qū)間（0，1]上是單調(diào)函數(shù)矛盾，
∴a＞2不合題意，綜合（1）（2）得a≤2．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)能力，函數(shù)單調(diào)性的判定，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，試題具有一定的綜合性．