Question

設函數(shù)f（x）=

3-2x

3+2x

（x∈R）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的值域和零點；
（2）請判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性和單調(diào)性，并給予證明．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的值域

專題：高考數(shù)學專題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）先對已知函數(shù)化簡，求函數(shù)f（x）的值域，然后令f（x）=0可求函數(shù)的零點；
（2））利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性定義來加以證明．

解答： 解：（1）∵f（x）=

3-2x

3+2x

=-1+

6

3+2x

，
∵2^x＞0，
∴3+2^x＞3
∴0＜

1

3+2x

＜

1

3

，
∴0＜

6

3+2x

＜2，
∴-1＜f（x）＜1，
故y=f（x）的值域為（-1，1）；
令f（x）=0，即

6

3+2x

=1，
解得x=log₂3，
∴y=f（x）的零點為x=log₂3，
（2）對任意的x∈R，
f（-1）=

3-2-1

3+2-1

=

5

7

≠±

1

5

=±f(1)，
故y=f（x）是非奇非偶函數(shù)，
∴對任意的x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

6

3+2x1

-

6

3+2x2

=

6(2x2-2x1)

(3+2x1)(3+2x2)

，
∵3+2x1＞0，3+2x2＞0，2x2-2x1＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
故y=f（x）在定義域R上是減函數(shù)．

點評：本題考查了函數(shù)的值域，零點，奇偶性和單調(diào)性，屬于基本知識，應該掌握熟練．