Question

已知向量

m

=（sinωx，cosωx），

n

=（cosωx，cosωx），其中ω＞0，函數(shù)f （x）=2

m

•

n

-1的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f （x）在[

π

4

，

3π

4

]上的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期性及其求法,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式、三角函數(shù)的恒等變換求出f（x）的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的周期性求得ω的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），由x∈[

π

4

，

3π

4

]，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求出函數(shù)f （x）在[

π

4

，

3π

4

]上的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f （x）=2

m

•

n

-1=2sinωxcosωx+2cosωxcosωx
=sin2ωx+cos2ωx=

2

sin（2ωx+

π

4

），
由于此函數(shù)的最小正周期為

2π

2ω

=π，∴ω=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），由x∈[

π

4

，

3π

4

]，
可得2x+

π

4

∈[

3π

4

，

7π

4

]，故當(dāng)2x+

π

4

=

3π

2

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為-

2

；
當(dāng)2x+

π

4

=

3π

4

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為

2

×

2

2

=1，
故函數(shù)f （x）在[

π

4

，

3π

4

]上的取值范圍為[-

2

，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，三角函數(shù)的周期性和求法，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題