Question

已知：集合A={x|2^x≤256}，集合B={x|log₂x≥

1

2

}．
（1）求A∩B；
（2）若函數(shù)f（x）=log₂（

x

2

）•log 

2

（

x

2

）-m（x∈A∩B）的圖象與x軸有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn),交集及其運(yùn)算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）解不等式得出解集，（2）配方為f（x）=（log₂x-

3

2

）²-

1

4

-m，

1

2

≤log₂x≤3，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，求出最大值，最小值，列出不等式組即可．

解答： 解：（1）∵A={x|2^x≤256}={x|x≤8}，
B={x|log₂x≥

1

2

}={x|x≥

2

}．
∴A∩B={x|

2

≤x≤8}                   
（2）由（1）知：

2

≤x≤8∴

1

2

≤log₂x≤3     
f（x）=log₂（

x

2

）•log 

2

（

x

2

）-m
=（log₂x-1）（log 

2

x

-log 

2

2）-m
=（log₂x-1）（log₂x-2）-m=（log₂x-

3

2

）²-

1

4

-m 
∴當(dāng)log₂x=

3

2

時(shí)，f（x）_min=-

1

4

-m，
當(dāng)log₂x=3時(shí)，f（x）_max=2-m
由題意可知：

- 1 4 -m≤0 2-m≥0

∴-

1

4

≤m≤2
所以，實(shí)數(shù)m的取值范圍是：[-

1

4

，2]，

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，不等式的解法，整體運(yùn)用二次函數(shù)求解，屬于中檔題，難度較大．