Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx．
（Ⅰ）當(dāng)a=-2時，判斷函數(shù)f（x）零點的個數(shù)；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域：（0，+∞），
當(dāng)a=-2時，f′（x）=，
當(dāng)x∈（0，）時，f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（，+∞）時，f′（x）＜0，函數(shù)是減函數(shù)．
因為f（）=，所以此時在定義域上f（x）＜0，
s所以函數(shù)f（x）零點的個數(shù)為0．；
（Ⅱ）f′（x）=2ax-（a+2）+=，
①當(dāng)a≤0時，當(dāng)x∈（0，）時，f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（，+∞）時，f′（x）＜0，函數(shù)是減函數(shù)．
②當(dāng)0＜a＜2時，
當(dāng)x∈（0，）時，f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（，）時，f′（x）＜0，函數(shù)是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)．
③當(dāng)a=2時，f′（x）=，對一切x∈（0，+∞）恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時f′（x）=0，函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，單調(diào)增區(qū)間（0，+∞）
④當(dāng)a＞2時，
當(dāng)x∈（0，）時，f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（，）時，f′（x）＜0，函數(shù)是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)．
綜上：當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間（0，），單調(diào)減區(qū)間是（）．
當(dāng)0＜a＜2時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間（0，）和（），單調(diào)減區(qū)間是（）．
當(dāng)a=2時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間（0，+∞）
當(dāng)a＞2時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間（0，）和（），單調(diào)減區(qū)間是（）．
分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的定義域，通過a=-2時，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，判斷函數(shù)f（x）的極大值，然后推出函數(shù)的零點的個數(shù)；
（Ⅱ）通過求解函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過：當(dāng)a≤0，0＜a＜2，a=2，a＞2，分別通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)列表，然后求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
點評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的極值，考查分類討論以及計算能力．