Question

【題目】已知圓和直線(xiàn)

（1）求證:不論取什么值,直線(xiàn)和圓C總相交;

（2）求直線(xiàn)被圓C截得的最短弦長(zhǎng)及此時(shí)的直線(xiàn)方程.

Answer 1

【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2) , .

【解析】試題分析： 由直線(xiàn)的方程可得直線(xiàn)恒通過(guò)點(diǎn)，而點(diǎn) 在圓的內(nèi)部，故得到不論取什么值,直線(xiàn)和圓C總相交；

設(shè)定點(diǎn)為，因?yàn)?/span> ，求出直線(xiàn)的斜率，即可寫(xiě)出直線(xiàn)的方程，

求出圓心到直線(xiàn)距離，即可求出弦長(zhǎng)。

解析：(1)證明:由直線(xiàn)的方程可得, ,則直線(xiàn)恒通過(guò)點(diǎn)

,把代入圓的方程,得,

所以點(diǎn)在圓的內(nèi)部,又因?yàn)橹本�(xiàn)恒過(guò)點(diǎn),

所以直線(xiàn)與圓總相交.

(2)設(shè)定點(diǎn)為，由題可知當(dāng)直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直時(shí)，直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)最短，

因?yàn)?/span>，所以直線(xiàn)的斜率為

所以直線(xiàn)的方程為，即

設(shè)圓心到直線(xiàn)距離為，則

所以直線(xiàn)被圓截得最短的弦長(zhǎng)為.