Question

【題目】是自然對數(shù)的底數(shù)，已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的最小值；

（2）函數(shù)在上能否恰有兩個零點?證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）（2）能夠恰有兩個零點，證明見解析

【解析】

（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求極值。然后可得最小值；

（2）結(jié)合零點存在定理進(jìn)行判定.

（1）求導(dǎo)，由，得.列表如下:

	+	0		0	+
	單調(diào)遞增	有極大值	單調(diào)遞減	有極小值	單調(diào)遞增

知為極大值，為極小值.

又因為當(dāng)且僅當(dāng)時，，并且在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，

故在上的最小值為.

（2）函數(shù)在上能夠恰有兩個零點；

證明如下:由，知是一個零點.

又由（1）知，是函數(shù)的一個極大值，在單調(diào)區(qū)間和都不會再有零點了.

考慮單調(diào)區(qū)間，由， ，

可見，函數(shù)在單調(diào)區(qū)間恰有一個零點.所以，函數(shù)在上恰有兩個零點.