【題目】是自然對數(shù)的底數(shù)，已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的最小值；

（2）函數(shù)在上能否恰有兩個零點?證明你的結(jié)論.

【答案】（1）（2）能夠恰有兩個零點，證明見解析

【解析】

（1）先求導數(shù)，再求極值。然后可得最小值；

（2）結(jié)合零點存在定理進行判定.

（1）求導，由，得.列表如下:

+

0

0

+

單調(diào)遞增

有極大值

單調(diào)遞減

有極小值

單調(diào)遞增

知為極大值，為極小值.

又因為當且僅當時，，并且在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，

故在上的最小值為.

（2）函數(shù)在上能夠恰有兩個零點；

證明如下:由，知是一個零點.

又由（1）知，是函數(shù)的一個極大值，在單調(diào)區(qū)間和都不會再有零點了.

考慮單調(diào)區(qū)間，由， ，

可見，函數(shù)在單調(diào)區(qū)間恰有一個零點.所以，函數(shù)在上恰有兩個零點.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某市一所高中為備戰(zhàn)即將舉行的全市羽毛球比賽，學校決定組織甲、乙兩隊進行羽毛球?qū)官悓崙?zhàn)訓練．每隊四名運動員，并統(tǒng)計了以往多次比賽成績，按由高到低進行排序分別為第一名、第二名、第三名、第四名.比賽規(guī)則為甲、乙兩隊同名次的運動員進行對抗，每場對抗賽都互不影響，當甲、乙兩隊的四名隊員都進行一次對抗賽后稱為一個輪次．按以往多次比賽統(tǒng)計的結(jié)果，甲、乙兩隊同名次進行對抗時，甲隊隊員獲勝的概率分別為，，，.

（1）進行一個輪次對抗賽后一共有多少種對抗結(jié)果？

（2）計分規(guī)則為每次對抗賽獲勝一方所在的隊得1分，失敗一方所在的隊得0分，設進行一個輪次對抗賽后甲隊所得分數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，.

（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

（2）令，且函數(shù)有三個彼此不相等的零點，其中.

①若，求函數(shù)在處的切線方程；

②若對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸的建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的普通方程；

（2）若點與點分別為曲線動點，求的最小值，并求此時的點坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】是自然對數(shù)的底數(shù)，，已知函數(shù)，.

（1）若函數(shù)有零點，求實數(shù)的取值范圍；

（2）對于，證明:當時，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】博覽會安排了分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車，等可能隨機順序前往酒店接嘉賓．某嘉賓突發(fā)奇想，設計兩種乘車方案．方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車．記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為P1，P2，則（ ）

A. P1P2＝ B. P1＝P2＝ C. P1+P2＝ D. P1＜P2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）若，討論的單調(diào)性；

（2）若在區(qū)間內(nèi)有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知分別為橢圓的左、右焦點，為該橢圓的一條垂直于軸的動弦，直線與軸交于點，直線與直線的交點為.

（1）證明：點恒在橢圓上.

（2）設直線與橢圓只有一個公共點，直線與直線相交于點，在平面內(nèi)是否存在定點，使得恒成立？若存在，求出該點坐標；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知正方體，過對角線作平面交棱于點E，交棱于點F，則：

①四邊形一定是平行四邊形；

②四邊形有可能為正方形；

③四邊形在底面內(nèi)的投影一定是正方形；

④平面有可能垂直于平面.

其中所有正確結(jié)論的序號為（ ）

A.①②B.②③④C.①④D.①③④

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