Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²（x∈R）的圖象過點(diǎn)P（-1，2），且在點(diǎn)P處的切線恰好與直線x-3y=0垂直．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=mx³+

1

3

f′（x）-3x在（2，+∞）上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）本題的解析式中有兩個(gè)參數(shù)，故需要兩個(gè)方程，由圖象過定點(diǎn)P可以得到一個(gè)方程，另一個(gè)由點(diǎn)P處的切線與直線x-3y=0垂直可以得到切線的斜率，得到另一個(gè)方程，由此兩方程聯(lián)立即可得到兩個(gè)參數(shù)的值．
（2）求解本題中的參數(shù)取值范圍需要先求出g（x）的解析式，然后求出其導(dǎo)數(shù)，由于函數(shù)在（2，+∞）上是減函數(shù)，故在這個(gè)區(qū)間上導(dǎo)數(shù)值應(yīng)小于等于0，由此關(guān)系得到參數(shù)m的不等式，解之即得．

解答：解：（1）∵f′（x）=3ax²+2bx
∴由題意有

f(-1)=-a+b=2 f/(-1)=3a-2b=-3

∴

a=1 b=3

∴f（x）=x³+3x²
（2）∵g′（x）=3mx²+2x-1，
∴依據(jù)題意：當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，3mx²+2x-1≤0恒成立；
即：3m≤

1-2x

x2

在x∈（2，+∞）時(shí)恒成立；令h(x)=

1-2x

x2

，
易求得h(x)=

1-2x

x2

在x∈（2，+∞）的最小值為-

3

4

∴a∈(-∞，-

1

4

]

點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是函數(shù)的解析式求解方法及函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)重要的方法，導(dǎo)數(shù)的引入給函數(shù)單調(diào)性的研究帶來了極大的便利，學(xué)習(xí)時(shí)要注意導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的使用方法及規(guī)律．