Question

已知f（x）=cos（2x+

π

3

）+1-2cos²x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且a=1，b+c=2，f（A）=-

1

2

，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦函數(shù)的單調(diào)性,余弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）將函數(shù)進(jìn)行化簡，利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得到函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）根據(jù)條件求出A，利用三角形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）f（x）=cos（2x+

π

3

）+1-2cos²x=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x-cos2x=-

1

2

cos2x-

3

2

sin2x=-sin（2x+

π

6

）．
由要求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，即求y=sin（2x+

π

6

）的遞增區(qū)間，
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，即kπ-

π

3

≤x≤

π

6

+kπ．
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ-

π

3

，

π

6

+kπ]，k∈Z．
（2）∵f（A）=-

1

2

，
∴sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∵0＜A＜π，
則

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，即2A+

π

6

=

5π

6

，
解得A=

π

3

，
在△ABC中，a=1，b+c=2，A=

π

3

，
則由余弦定理得1=b²+c²-2bccosA，
即1=（b+c）²-3bc=4-3bc，
故bc=1，
則△ABC的面積S=

1

2

bcsinA=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及余弦定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力．