Question

（2007•煙臺(tái)三模）已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，且f（

1

3

）=0，則不等式f（log

1

8

x）＞0的解集為（　　）

• A．（0，

  1

  2

  ）∪（2，+∞）
• B．（

  1

  2

  ，1）∪（2，+∞）
• C．（0，

  1

  2

  ）
• D．（2，+∞）

Answer 1

分析：利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系確定不等式，然后解不等式即可．

解答：解：方法1：
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
所以不等式f（log

1

8

x）＞0等價(jià)為f(|log

1

8

x|)＞0，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，且f（

1

3

）=0，
所以f(|log

1

8

x|)＞f(

1

3

)，即|log

1

8

x|＞

1

3

，
即log

1

8

x＞

1

3

或log

1

8

x＜-

1

3

，
解得0＜x＜

1

2

或x＞2．
方法2：已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，且f（

1

3

）=0，
所以f（x）在（-∞，0]上是減函數(shù)，且f（-

1

3

）=0．
①若log

1

8

x＞0，則log

1

8

x＞

1

3

，此時(shí)解得0＜x＜

1

2

．
②若log

1

8

x＜0，則log

1

8

x＜-

1

3

，解得x＞2．
綜上不等式f（log

1

8

x）＞0的解集為（0，

1

2

）∪（2，+∞）．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，要求熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用．