Question

已知函數f（x）=

3

sin2x+2cos²x+m在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值為3，則
（Ⅰ）m=

 

；
（Ⅱ）當f（x）在[a，b]上至少含有20個零點時，b-a的最小值為

 

．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）利用兩角和公式和二倍角公式對函數解析式化簡整理，利用三角函數性質求得函數的最大值時的表達式，求得m．
（Ⅱ）利用函數解析式求得函數的周期，最大值和最小值，推斷出每個完整周期由2個零點，且相隔為

π

3

的距離，通過共有20個零點除以2，可知在已知范圍內最多有10個周期，最后通過10π-

2π

3

求得答案．

解答： （Ⅰ）f（x）=

3

sin2x+2cos²x+m=

3

sin2x+cos2x+1+m=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）+1+m=2sin（2x+

π

6

）+m+1，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

∴當2x+

π

6

=

π

2

，函數f（x）最大為2+m+1=3，
∴m=0．
（Ⅱ）∵f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴T=

2π

2

=π，A=2，函數的最大值是3、最小值是-1
∵函數初相=

π

3

∴在每個完整周期內，有2個0點
∵在[a，b]上至少含有20個零點
∴

20

2

=10，即在[a，b]至多含有10個周期，可保證有20個零點
∴b-a的最小值是10π-

2π

3

=

28π

3

．
故答案為：0，

28π

3

．

點評：本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，三角函數圖象和性質．對于第2問要求區(qū)間[a，b]的最小寬度，首先要從某1個零點算起到恰好第20個零點結束，否則就不是最小寬度了；其次，要從間隔

2π

3

的兩個零點的左邊那個零點算起，直到間隔

π

3

的兩個零點的右邊那個零點結束，這樣才是最小的寬度．