Question

如圖，已知橢圓長軸端點(diǎn)A、B，弦EF與AB交于點(diǎn)D，O為中心，且|

OD

|=1，

DF

=2

ED

，∠FDO=

π

4

，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系解決以下問題：
（1）求橢圓的長軸長的取值范圍；
（2）若D為橢圓的焦點(diǎn)，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）建立如圖平面直角坐標(biāo)系，則D（-1，0）弦EF所在的直線方程為y=x+1，設(shè)橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用長軸的表示的函數(shù)式即可求得范圍，從而解決問題．
（2）利用D為橢圓的焦點(diǎn)，則c=1，b²=a²-1結(jié)合（1）知：∴a²=9-a²  從而求出a，b的值，最后寫出橢圓方程即可．

解答：解：（1）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則D（-1，0）弦EF所在的直線方程為y=x+1
設(shè)橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
由

DF

=2

ED

，知：y₁+y₂=-y₁，且y₁y₂=-2y₁² 聯(lián)立方程組

x2 a2 + y2 b2 =1 y=x+1

，
消去x得：（a²+b²）y²-2b²y+b²-a²b²=0
由題意知：a＞1，∴△=4b⁴=4（a²+b²）（b²-a²b²）＞0
由韋達(dá)定理知：y₁+y₂=

2b 2

a 2+b 2

=-y₁，y₁y₂=

b 2-a 2b  2

a 2+b 2

=-2y₁²，
消去y₁得化簡整理得：b₂=

a 2(a 2-1)

9-a 2

∵0＜b²＜a²，∴0＜

a 2(a 2-1)

9-a 2

＜a²解得：
1＜a²＜5
∴2＜2a＜2

5

  即：橢圓的長軸長的取值范圍為（2，2

5

）．
（2）若D為橢圓的焦點(diǎn)，則c=1，b²=a²-1   
由（1）知：b²=

a 2(a 2-1)

9-a 2

=a²-1，
∴a²=9-a²∴a²=

9

2

，b²=

7

2

∴橢圓方程為：

x2

9 2

+

y2

7 2

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題以橢圓為載體，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是直線與橢圓方程的聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可解．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．