Question

如圖，已知橢圓長軸|A₁A₂|=6，焦距|F₁F₂|=，過橢圓焦點(diǎn)F₁作一直線，交橢圓于兩點(diǎn)M，N，設(shè)∠F₂F₁M=α（0≤α＜π）當(dāng)α取什么值時(shí)，|MN|等于橢圓短軸的長？

Answer 1

【答案】分析：解一：以橢圓焦點(diǎn)F₁為極點(diǎn)，以F₁為起點(diǎn)并過F₂的射線為極軸建立極坐標(biāo)系，由已知條件可知橢圓的極坐標(biāo)方程為∴，
據(jù)此能夠求出α的取值．

解二：以橢圓的中心為原點(diǎn)，F(xiàn)₁F₂所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如圖）由已知條件知，橢圓的方程為MN所在直線方程為（其中k=tanα），聯(lián)立方程組后由題設(shè)條件能夠推導(dǎo)出α的取值．

解三：建立坐標(biāo)系得橢圓方程為MN所在直線的參數(shù)方程為，y=tsinα（t是參數(shù)）代入橢圓方程得設(shè)t₁，t₂是方程兩根，則由韋達(dá)定理結(jié)合題設(shè)條件能夠推陳出新導(dǎo)出α的取值．

解四：設(shè)|F₁M|=x，則|F₂M|=6-x|F₁F₂|=，∠F₂F₁M=α，在△MF₁F₂中由余弦定理結(jié)合題設(shè)條件能夠推陳出新導(dǎo)出α的取值．
解答：解：法一：以橢圓焦點(diǎn)F₁為極點(diǎn)，
以F₁為起點(diǎn)并過F₂的射線為極軸建立極坐標(biāo)系
由已知條件可知橢圓長半軸a=3，
半焦距c=，短半軸b=1，
離心率e=，中心到準(zhǔn)線距離=，
焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離p=．
橢圓的極坐標(biāo)方程為
∴，
．
解得．∴或．
以上解方程過程中的每一步都是可逆的，
所以當(dāng)或時(shí)，|MN|等于短軸的長．

法二：以橢圓的中心為原點(diǎn)，
F₁F₂所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如圖）由已知條件知，橢圓的方程為．
MN所在直線方程為（其中k=tanα）
解方程組．
消去y得.=
=，解得．∴或．
所以當(dāng)或時(shí)，|MN|等于短軸的長

法三：建立坐標(biāo)系得橢圓方程為．
MN所在直線的參數(shù)方程為（t是參數(shù)）
代入橢圓方程得．
設(shè)t₁，t₂是方程兩根，則由韋達(dá)定理，
．
．=，
解得．∴或．
所以當(dāng)或時(shí)，|MN|等于短軸的長

法四：設(shè)|F₁M|=x，則|F₂M|=6-x
|F₁F₂|=，∠F₂F₁M=α
在△MF₁F₂中由余弦定理得
，

同理，設(shè)|F₁N|=y，則|F₂N|=6-y在△F₁F₂N中，由余弦定理得
．
，
=2，解得．
∴或．
所以當(dāng)或時(shí)，|MN|等于短軸的長．
點(diǎn)評：一題多解能夠有首席地提高我們的解題能力，不時(shí)練習(xí)時(shí)要多嘗試一題多解．