如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，短軸兩個端點分別為A，B，且四邊形F1AF2B是邊長為2 的正方形．
（1）求橢圓的方程；
（2）若C，D分別為長軸的左右端點，O為坐標(biāo)原點，動點M滿足MD⊥CD，連接CM，交橢圓于點P，判斷
OM
•
OP
是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請說明理由．
分析：（1）由于四邊形F1AF2B是邊長為2 的正方形，可得a=2，b=c，再利用a2=b2+c2即可解出b，c；
（2）判斷
OM
•
OP
是定值4．設(shè)M（2，m），P（s，t），C（-2，0）．則直線CM的方程為：y=
m
4
(x+2)，與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，即可得出點M的坐標(biāo)用m表示，再利用數(shù)量積運算即可得出
OM
•
OP
是定值．
解答：解：（1）∵四邊形F1AF2B是邊長為2 的正方形，∴a=2，b=c，
∵a2=b2+c2，∴b=c=
2
．
∴橢圓的方程為
x2
4
+
y2
2
=1．
（2）判斷
OM
•
OP
是定值4．下面給出證明：
設(shè)M（2，m），P（s，t），C（-2，0）．
則直線CM的方程為：y=
m
4
(x+2)，聯(lián)立
y=
m
4
(x+2)
x2
4
+
y2
2
=1
，
化為（8+m2）x2+4m2x+4m2-32=0，
∵直線與橢圓有兩個交點，∴△=16m4-4（8+m2）（4m2-32）＞0，化為1＞0．
∴-2×s=
4m2-32
8+m2
，解得s=
16-2m2
8+m2
．
∴t=
8m
8+m2
．∴M(
16-2m2
8+m2
，
8m
8+m2
)．
∴
OM
•
OP
=(2，m)•(
16-2m2
8+m2
，
8m
8+m2
)=
32-4m2
8+m2
+
8m2
8+m2
=4為定值．
點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運算等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點C(
3
2
，
3
2
)且離心率為
6
3
，A、B是長軸的左右兩頂點，P為橢圓上意一點（除A，B外），PD⊥x軸于D，若
PQ
=λ
QD
，λ∈(-1，0)．
（1）試求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）P在C處時，若∠QAB=2∠PAB，試求過Q、A、D三點的圓的方程；
（3）若直線QB與AP交于點H，問是否存在λ，使得線段OH的長為定值，若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•汕頭一模）如圖．已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的長軸為AB，過點B的直線l與x軸垂直，橢圓的離心率e=
3
2
，F(xiàn)1為橢圓的左焦點且
AF1
•
F1B
=1．
（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點，PH⊥x軸，H為垂足，延長HP到點Q使得HP=PQ．連接AQ并延長交直線l于點M，N為MB的中點，判定直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，B為橢圓的上頂點且△BF1F2的周長為4+2
3
．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在這樣的直線使得直線l與橢圓交于M，N兩點，且橢圓右焦點F2恰為△BMN的垂心？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明由..

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•崇明縣二模）如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），M為橢圓上的一個動點，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點，A、B分別為橢圓的一個長軸端點與短軸的端點．當(dāng)MF2⊥F1F2時，原點O到直線MF1的距離為
1
3
|OF1|．
（1）求a，b滿足的關(guān)系式；
（2）當(dāng)點M在橢圓上變化時，求證：∠F1MF2的最大值為
π
2
；
（3）設(shè)圓x2+y2=r2（0＜r＜b），G是圓上任意一點，過G作圓的切線交橢圓于Q1，Q2兩點，當(dāng)OQ1⊥OQ2時，求r的值．（用b表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點(1，
2
2
)，離心率為
2
2
，左、右焦點分別為F1、F2．點P為直線l：x+y=2上且不在x軸上的任意一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D，O為坐標(biāo)原點．設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2．
（Ⅰ）證明：
1
k1
-
3
k2
=2；
（Ⅱ）問直線l上是否存在點P，使得直線OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD滿足kOA+kOB+kOC+kOD=0？若存在，求出所有滿足條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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同步練習(xí)冊答案