【題目】如圖1，在直角梯形中，，，，點是邊的中點，將沿折起，使平面平面，連接，，，得到如圖2所示的幾何體.

（1）求證：平面；

（2）若，且與平面所成角的正切值為，求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析 （2）

【解析】

（1）證明平面內(nèi)的相交直線，即可證明線面垂直；

（2）根據(jù)與平面所成角的正切值為，設(shè)，求出的值，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，平面的法向量，代入向量的夾角公式，即可得答案.

（1）因為平面平面，平面平面，

又，所以平面.

因為平面，所以.

又因為折疊前后均有，，

所以平面.

（2）由（1）知平面，所以與平面所成角為

且.依題意.

因為，所以.

設(shè)，則.

依題意，所以，即.

解得，故，，.

如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，

所以，.

由（1）知平面的法向量

設(shè)平面的法向量

由得，

令，得，，所以.

所以.

由圖可知二面角的平面角為銳角，

所以二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若當(dāng)時恒成立，求的取值范圍．

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【題目】在三棱錐中，，三角形為等邊三角形，二面角的余弦值為，當(dāng)三棱錐的體積最大值為時，三棱錐的外接球的表面積為______.

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（1）求證：平面.

（2）求二面角的余弦值.

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【題目】某工廠采用甲、乙兩種不同生產(chǎn)方式生產(chǎn)某零件，現(xiàn)對兩種生產(chǎn)方式所生產(chǎn)的這種零件的產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行對比，其質(zhì)量按測試指標(biāo)可劃分為：指標(biāo)在區(qū)間100的為一等品；指標(biāo)在區(qū)間的為二等品現(xiàn)分別從甲、乙兩種不同生產(chǎn)方式所生產(chǎn)的零件中，各自隨機(jī)抽取100件作為樣本進(jìn)行檢測，測試指標(biāo)結(jié)果的頻率分布直方圖如圖所示：

若在甲種生產(chǎn)方式生產(chǎn)的這100件零件中按等級，利用分層抽樣的方法抽取10件，再從這10件零件中隨機(jī)抽取3件，求至少有1件一等品的概率；

將頻率分布直方圖中的頻率視作概率，用樣本估計總體若從該廠采用乙種生產(chǎn)方式所生產(chǎn)的所有這種零件中隨機(jī)抽取3件，記3件零件中所含一等品的件數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的圖象在處的切線為.（為自然對數(shù)的底數(shù)）.

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（2）當(dāng)時，求證：；

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【題目】（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù).

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（Ⅲ）已知數(shù)列中， ，且，若數(shù)列的前n項和為，求證：

.

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【題目】如圖，在P地正西方向16km的A處和正東方向2km的B處各一條正北方向的公路AC和BD，現(xiàn)計劃在AC和BD路邊各修建一個物流中心E和F．

（1）若在P處看E，F的視角，在B處看E測得，求AE，BF；

（2）為緩解交通壓力，決定修建兩條互相垂直的公路PE和PF，設(shè)，公路PF的毎千米建設(shè)成本為a萬元，公路PE的毎千米建設(shè)成本為8a萬元．為節(jié)省建設(shè)成本，試確定E，F的位置，使公路的總建設(shè)成本最�。�

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【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，求實數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)的極大值為，極小值為，求的取值范圍.

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