Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且2S_n=1-a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

1

log 1 3 an

，c_n=

bnbn+1

n+1 + n

，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得a1=

1

3

．當(dāng)n≥2時，2S_n=1-a_n，2S_n-1=1-a_n-1，兩式相減，能推導(dǎo)出an=

1

3n

(n∈N*)．
（Ⅱ）由bn=

1

log 1 3 an

=

1

log 1 3 ( 1 3 )n

=

1

n

．得cn=

n+1 - n

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．由此能求出數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時，由2S₁=1-a₁得：a1=

1

3

． 
當(dāng)n≥2時，2S_n=1-a_n①；2S_n-1=1-a_n-1②，
上面兩式相減，得：an=

1

3

an-1．
所以數(shù)列{a_n}是以首項為

1

3

，公比為

1

3

的等比數(shù)列． 
∴an=

1

3n

(n∈N*)．…（6分）
（Ⅱ）bn=

1

log 1 3 an

=

1

log 1 3 ( 1 3 )n

=

1

n

．
cn=

n+1 - n

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

． …（10分）
∴T_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1-

1

n+1

．（12分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項求和法的合理運用．