【題目】如圖,在四棱錐中,底面是直角梯形,,,底面,點(diǎn)為棱的中點(diǎn)..

證明:平面.

為棱上一點(diǎn),滿足,求二面角的余弦值.

【答案】證明見(jiàn)解析;.

【解析】

上找中點(diǎn),連接,,利用三角形中位線性質(zhì)得出,因?yàn)榈酌?/span>是直角梯形,,所以能得出平行且等于,得出四邊形為平行四邊形,再利用線面平行的判定,即可證出平面

根據(jù),求出向量的坐標(biāo),進(jìn)而求出平面和平面的法向量,代入向量夾角公式,可得二面角的余弦值.

解:證明:在上找中點(diǎn),連接,,圖象如下:

分別為的中點(diǎn),

,且,

底面是直角梯形,

,且

.即四邊形為平行四邊形.

.

平面,平面,

平面.

為原點(diǎn),以所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

可得,,,,

,.

為棱上一點(diǎn),設(shè),

所以,

,得,

解得,

,,

設(shè)平面的法向量為,

可得

所以,令,則,則,

取平面的法向量為

則二面角的平面角滿足:

,

故二面角的余弦值為.

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