設(shè)雙曲線的頂點(diǎn)為（0，±1），該雙曲線又與直線
15
x-3y+6=0交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求此雙曲線的方程；
（2）求|AB|
（1）雙曲線的頂點(diǎn)為（0，±1），可以假雙曲線的方程為y2-
x2
b2
=1，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則
15
x1-3y1+6=0，
15
x2-3y2+6=0，
∴15x1x2=9y1y2-18（y1+y2）+36，
∴x1x2=
3y1y2-6(y1+y2)+12
5

由OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，∴4y1y2-3（y1+y2）+6=0…①
由 y2-
x2
b2
=1和
15
x-3y+6=0聯(lián)立消去x，∴（15b2-9）y2+36y-（15b2+36）=0…②
∴y1+y2=
36
9-15b2
，y1y2=
15b2+36
9-15b2
，代入①中得b2=3，
經(jīng)驗(yàn)證，此時(shí)△＞0，…（9分）
∴雙曲線的方程為y2-
x2
3
=1
（2）將b2=3代入②式中，得4y2+4y-9=0，y1+y2=-1，y1y2=-
9
4

∴|AB|=
1+
1
k2
|y2-y1|=
1+
3
5
•
1-4×
-9
4
=4．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

與雙曲線x2-
y2
2
=1有相同的漸近線，且過點(diǎn)（2，2）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

雙曲線兩條漸近線互相垂直，那么它的離心率為（　�。�
A．
2
B．
3
C．2D．
3
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線的兩條漸近線方程為直線l1：y=
3
x和l2：y=-
3
x，其焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長為2．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+1與雙曲線相切于點(diǎn)M且與右準(zhǔn)線交于N，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，求證：∠MFN為直角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖所示的曲線是以銳角△ABC的頂點(diǎn)B、C為焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)A的雙曲線，若△ABC的內(nèi)角的對邊分別為a，b，c，且a=4，b=6，
csinA
a
=
3
2
，則此雙曲線的離心率為（　�。�
A．
3+
7
2
B．
3-
7
2
C．3-
7
D．3+
7

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

若雙曲線C與雙曲線
x2
12
-
y2
8
=1共漸近線，且過點(diǎn)A(3，
2
)，則雙曲線C的方程為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

若方程
x2
k+2
+
y2
5-k
=-1表示雙曲線，則k的取值范圍是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，點(diǎn)F2是⊙F1外的一點(diǎn)，點(diǎn)Q是⊙F1上的動(dòng)點(diǎn)，射線F1Q交線段F2Q的中垂線于P，則點(diǎn)P一定在（　�。�
A．以F1、F2為焦點(diǎn)，以2|F1Q|為長軸長的橢圓上
B．以F1、F2為焦點(diǎn)，以2|F1Q|為實(shí)軸長的雙曲線上
C．以F2為焦點(diǎn)，以F1F2中點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線上
D．以F1、F2為焦點(diǎn)，以|F1Q|為實(shí)軸長的雙曲線上

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

點(diǎn)P在雙曲線x2-y2=1上運(yùn)動(dòng)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段PO中點(diǎn)M的軌跡方程是______．

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同步練習(xí)冊答案