已知函數(shù)f（x）=2x2-10x，（x∈R），問是否存在自然數(shù)m，使得方程數(shù)學(xué)公式在區(qū)間（m，m+1）內(nèi)有且僅有兩個不等的實數(shù)解？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

解：依題意，問題等價于方程2x3-10x2+37=0在（m，m+1）內(nèi)有且僅有兩個不等的實數(shù)根，
令h（x）=2x3-10x2+37，
h′（x）=6x2-20x=6x（x-），
當(dāng)x∈（0，）時，h′（x）＜0，h（x）在區(qū)間（0，）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）在區(qū)間（，+∞）上單調(diào)遞增；…4分
由于h（3）=1＞0，h（）=-＜0，h（4）=5＞0，…7分
所以方程h（x）=0在（3，），（，4）內(nèi)分別有唯一實數(shù)根，而在（0，3），（4，+∞）內(nèi)沒有實數(shù)根…10分
所以存在唯一自然數(shù)m=3使得方程f（x）+=0在區(qū)間（m，m+1）內(nèi)有且僅有兩個不等的實數(shù)解．…12分
分析：依題意，將f（x）+=0在區(qū)間（m，m+1）內(nèi)有且僅有兩個不等的實數(shù)解轉(zhuǎn)化為2x3-10x2+37=0在（m，m+1）內(nèi)有且僅有兩個不等的實數(shù)根，通過導(dǎo)數(shù)可分析得方程h（x）=0在（3，），（，4）內(nèi)分別有唯一實數(shù)根，而在（0，3），（4，+∞）內(nèi)沒有實數(shù)根，從而可得答案．
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，考查等價轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的綜合運用，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)f（x）=2-
1
x
，（x＞0），若存在實數(shù)a，b（a＜b），使y=f（x）的定義域為（a，b）時，值域為（ma，mb），則實數(shù)m的取值范圍是（　　）

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已知函數(shù)f（x）=2+log0.5x（x＞1），則f（x）的反函數(shù)是（　�。�

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已知函數(shù)f（x）=2（m-1）x2-4mx+2m-1
（1）m為何值時，函數(shù)的圖象與x軸有兩個不同的交點；
（2）如果函數(shù)的一個零點在原點，求m的值．

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（2013•上海）已知函數(shù)f（x）=2-|x|，無窮數(shù)列{an}滿足an+1=f（an），n∈N*
（1）若a1=0，求a2，a3，a4；
（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比數(shù)列，求a1的值
（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的a1，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=2|x-2|-x+5，若函數(shù)f（x）的最小值為m
（Ⅰ）求實數(shù)m的值；
（Ⅱ）若不等式|x-a|+|x+2|≥m恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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