Question

已知函數(shù)f（x）=2a²lnx-x²（常數(shù)a＞0）．
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，e²）上零點的個數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,函數(shù)零點的判定定理

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導數(shù)，可得切線的斜率，求出切點坐標，可得切線方程；
（2）f（x）在（0，a]上是增函數(shù)，在[a，+∞）上是減函數(shù)，可得f（x）_max=f（a）=a²（2lna-1），分類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，從而確定函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，e²）上零點的個數(shù)．

解答： 解：（1）當a=1時，f（x）=2lnx-x²，
∴f′（x）=

2

x

-2x．∴f′（1）=0．…（3分）
又∵f（1）=-1，
∴曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y+1=0．…（4分）
（3）∵f（x）=2a²lnx-x²，∴f′（x）=

-2(x-a)(x+a)

x

．
∵x＞0，a＞0，∴當0＜x＜a時，f′（x）＞0，當x＞a時，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，a]上是增函數(shù)，在[a，+∞）上是減函數(shù)．…（7分）
∴f（x）_max=f（a）=a²（2lna-1），…（8分）
討論函數(shù)f（x）的零點情況如下．
①a²（2lna-1）＜0，即0＜a＜

e

時，函數(shù)f（x）無零點，在（1，e²）上也無零點；…（9分）
②當a²（2lna-1）=0，即a=

e

時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)有唯一零點a，而1＜a＜e²，∴f（x）在（1，e²）內(nèi)有一個零點；…（10分）
③當a²（2lna-1）＞0，即a＞

e

時，
由于f（1）=-1＜0，f（a）=a²（2lna-1）＞0．f（e²）=（2a-e²）（2a+e²），
當2a-e²＜0時，即

e

＜a＜

e2

2

時，1＜

e

＜a＜

e2

2

＜e²，f（e²）＜0，由單調(diào)性可知，函數(shù)f（x）在（1，a）內(nèi)有唯一零點x₁、在（a，e²）內(nèi)有唯一零點x₂滿足，∴f（x）在（1，e²）內(nèi)有兩個零點；         …（11分）
當2a-e²≥0時，即a≥

e2

2

＞

e

時，f（e²）≥0，而且f(

e

)=a2-e＞0，f（1）=-1＜0，由單調(diào)性可知，無論a≥e²還是a＜e²，f（x）在（1，

e

）內(nèi)有唯一的一個零點，在[

e

，e²）內(nèi)沒有零點，從而f（x）在（1，e²）內(nèi)只有一個零點；…（14分）
綜上所述，有：當0＜a＜

e

時，函數(shù)f（x）無零點；當a=

e

或a≥

e2

2

時，函數(shù)f（x）有一個零點；當

e

＜a＜

e2

2

時，函數(shù)f（x）有兩個零點．

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的切線方程，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)的零點個數(shù)的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論思想的合理運用．