Question

方程sin²x-2sinx-a=0在x∈R上有解，則a的取值范圍是（ ）
A．[-1，+∞）
B．（-1，+∞）
C．[-1，3]
D．[-1，3）

Answer 1

【答案】分析：由方程sin²x-2sinx-a=0在x∈R上有解，從方程形式上可以看出，可以將a表達成x的函數(shù)，再利用三角函數(shù)的有界性轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在某個區(qū)間上的最值問題求解a的范圍．
解答：解：方程sin²x-2sinx-a=0在x∈R上有解，可以轉(zhuǎn)化為a=sin²x-2sinx，x∈R
故令t=sinx∈[-1，1]，則方程轉(zhuǎn)化為
a=t²-2t，t∈[-1，1]，
此二次函數(shù)的對稱軸為t=1，故 a=t²-2t在[-1，1]上是減函數(shù)，
∴-1≤t≤3，即a的取值范圍是[-1，3]
故應(yīng)選C．
點評：本題的考點是二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．關(guān)于三角方程求解參數(shù)的問題，常利用其有界性轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)求參數(shù)．訓(xùn)練了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化能力．