【題目】已知點(diǎn)、為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過作垂直于軸的直線，在軸上方交雙曲線于點(diǎn)，且，圓的方程是.

（1）求雙曲線的方程；

（2）過雙曲線上任意一點(diǎn)作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為、，求的值；

（3）過圓上任意一點(diǎn)作圓的切線交雙曲線于、兩點(diǎn)，中點(diǎn)為，求證：

【答案】（1）；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

（1），根據(jù)可得，利用雙曲線的定義可得從而得到雙曲線的方程.

（2）設(shè)點(diǎn)，利用漸近線的斜率可以得到夾角的余弦為，利用點(diǎn)在雙曲線上又可得為定值，故可得的值.

（3）設(shè)，切線的方程為:，證明等價(jià)于證明，也就是證明 ，聯(lián)立切線方程和雙曲線方程，消元后利用韋達(dá)定理可以證明.

(1)設(shè)的坐標(biāo)分別為,

因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上,所以,即,所以，

在中, ,,所以，

由雙曲線的定義可知: ，

故雙曲線的方程為: .

(2)由條件可知:兩條漸近線分別為；.

設(shè)雙曲線上的點(diǎn),

設(shè)的傾斜角為，則，又 ，所以，

故，

所以的夾角為，且.

點(diǎn)到兩條漸近線的距離分別為，.

因?yàn)?/span>在雙曲線上,所以 ，

所以.

(3)由題意,即證: ,設(shè),

切線的方程為: .

時(shí),切線的方程代入雙曲線中,化簡得:

(，

所以，.

又，

所以.

時(shí),易知上述結(jié)論也成立.所以.

綜上, ,所以.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓W：（a＞b＞0）的離心率，其右頂點(diǎn)A（2，0），直線l過點(diǎn)B（1，0）且與橢圓交于C，D兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）判斷點(diǎn)A與以CD為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù).

（1）若為偶函數(shù)，求在上的值域；

（2）若的單調(diào)遞減區(qū)間為，求實(shí)數(shù)a構(gòu)成的的集合；

（3）若時(shí)，的圖像恒在直線的上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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【題目】某投資公司計(jì)劃在甲、乙兩個(gè)互聯(lián)網(wǎng)創(chuàng)新項(xiàng)目上共投資1200萬元，每個(gè)項(xiàng)目至少要投資300萬元.根據(jù)市場分析預(yù)測：甲項(xiàng)目的收益與投入滿足，乙項(xiàng)目的收益與投入滿足.設(shè)甲項(xiàng)目的投入為.

（1）求兩個(gè)項(xiàng)目的總收益關(guān)于的函數(shù).

（2）如何安排甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目的投資，才能使總收益最大？最大總收益為多少？（注：收益與投入的單位都為“萬元”）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2018年8月31日，十三屆全國人大常委會(huì)第五次會(huì)議表決通過了關(guān)于修改個(gè)人所得稅法的決定，這是我國個(gè)人所得稅法自1980年出臺(tái)以來第七次大修為了讓納稅人盡早享受減稅紅利，在過渡期對(duì)納稅個(gè)人按照下表計(jì)算個(gè)人所得稅，值得注意的是起征點(diǎn)變?yōu)?/span>5000元，即如表中“全月應(yīng)納稅所得額”是納稅者的月薪金收入減去5000元后的余額．

級(jí)數(shù)

全月應(yīng)納稅所得額

稅率

1

不超過3000元的部分

2

超過3000元至12000元的部分

3

超過12000元至25000元的部分

某企業(yè)員工今年10月份的月工資為15000元，則應(yīng)繳納的個(gè)人所得稅為______元

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知某觀光海域AB段的長度為3百公里，一超級(jí)快艇在AB段航行，經(jīng)過多次試驗(yàn)得到其每小時(shí)航行費(fèi)用Q（單位：萬元）與速度v（單位：百公里／小時(shí)）（0≤v≤3）的以下數(shù)據(jù)：

0

1

2

3

0

0.7

1.6

3.3

為描述該超級(jí)快艇每小時(shí)航行費(fèi)用Q與速度v的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：Q＝av3＋bv2＋cv，Q＝0．5v＋a，Q＝klogav＋b．

（1）試從中確定最符合實(shí)際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；

（2）該超級(jí)快艇應(yīng)以多大速度航行才能使AB段的航行費(fèi)用最少？并求出最少航行費(fèi)用．

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【題目】為響應(yīng)綠色出行，前段時(shí)間大連市在推出“共享單車”后，又推出“新能源分時(shí)租賃汽車”，其中一款新能源分時(shí)租賃汽車，每次租車收費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)由兩部分組成：①根據(jù)行駛里程按1元/公里計(jì)費(fèi)；②行駛時(shí)間不超過40分鐘時(shí)，按0.12元/分鐘計(jì)費(fèi)：超出部分按0.20元/分鐘計(jì)費(fèi)，己知張先生家離上班地點(diǎn)15公里，每天租用該款汽車上、下班各一次.由于堵車、紅路燈等因素，每次路上開車花費(fèi)的時(shí)間（分鐘）是一個(gè)隨機(jī)變量.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了100次路上開車花費(fèi)時(shí)間，在各時(shí)間段內(nèi)的頻數(shù)分布情況如下表所示：

時(shí)間（分鐘）

頻數(shù)

4

36

40

20

將各時(shí)間段發(fā)生的頻率視為概率，每次路上開車花費(fèi)的時(shí)間視為用車的時(shí)間，范圍為分鐘.

（1）寫出張先生一次租車費(fèi)用（元）與用車時(shí)間（分鐘）的函數(shù)關(guān)系式：

（2）若公司每月給900元的車補(bǔ)，請(qǐng)估計(jì)張先生每月（按24天計(jì)算）的車補(bǔ)是否足夠上下班租用新能源分時(shí)租賃汽車？并說明理由.（同一時(shí)段，用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】新能源汽車包括純電動(dòng)汽車、增程式電動(dòng)汽車、混合動(dòng)力汽車、燃料電池電動(dòng)汽車、氫發(fā)動(dòng)機(jī)汽車、其他新能源汽車等.它是未來汽車的發(fā)展方向.一個(gè)新能源汽車制造廠引進(jìn)了一條新能源汽車整車裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的新能源汽車數(shù)量(輛)與創(chuàng)造的價(jià)值(萬元)之間滿足二次函數(shù)關(guān)系.已知產(chǎn)量為0時(shí)，創(chuàng)造的價(jià)值也為0；當(dāng)產(chǎn)量為40000輛時(shí)，創(chuàng)造的價(jià)值達(dá)到最大6000萬元.若這家工廠希望利用這條流水線創(chuàng)收達(dá)到5625萬元，則它可能生產(chǎn)的新能源汽車數(shù)量是___________輛．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

(1)對(duì),恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)當(dāng)時(shí)，求在 上的最大值和最小值；

(3)證明：對(duì)都有成立．

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