【題目】給定橢圓C: (a>b>0).稱圓心在原點(diǎn)O,半徑為 的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”.若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F( ,0),其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為
(1)求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程;
(2)點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作直線l1 , l2 , 使得l1 , l2與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn),試判斷l(xiāng)1 , l2是否垂直,并說(shuō)明理由.

【答案】
(1)解:由題意可得,c= , =a= ,

則b2=a2﹣c2=1,

則橢圓C的方程為 +y2=1.

其“準(zhǔn)圓”方程為x2+y2=4


(2)解:①設(shè)P(± ,±1),則過(guò)P的直線l1:x=± ,

則l2的斜率k≠0,即它們不垂直;

②設(shè)P(m,n)(m≠± ),m2+n2=4,過(guò)P的直線為y﹣n=k(x﹣m),

聯(lián)立橢圓方程,消去y,得到

(1+3k2)x2+6k(n﹣km)x+3(n﹣km)2﹣3=0,

由于直線與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn),則△=0,

即36k2(n﹣km)2﹣4(1+3k2)3[(n﹣km)2﹣1]=0,

化簡(jiǎn)得,(3﹣m2)k2+2kmn+1﹣n2=0,

k1k2= = =﹣1.

即l1,l2垂直.

綜上,當(dāng)P在直線x= 上時(shí),l1,l2不垂直;

當(dāng)P不在直線x= 上時(shí),l1,l2垂直


【解析】(1)由題意可得,c= ,a= ,則b2=a2﹣c2=1,從而得到橢圓方程和其“準(zhǔn)圓”方程;(2)討論當(dāng)P在直線x= 上時(shí),顯然不垂直;當(dāng)P不在直線x= 上時(shí),設(shè)出直線方程,聯(lián)立橢圓方程,消去y,得到關(guān)于x的方程,運(yùn)用判別式為0,化簡(jiǎn)整理,得到關(guān)于k的方程,求出兩根之積,判斷是否為﹣1,即可判斷
l1 , l2垂直.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:才能正確解答此題.

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