Question

11．（1）將關于x的不等式|x-3|+|x-4|＜2；
（2）如果關于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a的解集是空集，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對任意x∈R，|2-x|+|3+x|≥a²-4a恒成立，求a的取值范圍；
（4）已知m∈R，解關于x的不等式1-x≤|x-m|≤1+x．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，去掉絕對值求出不等式的解集即可；（2）通過討論x的范圍，去掉絕對值，求出a的范圍即可；
（3）問題轉化為只需求出|2-x|+|3+x|的最小值大于等于a²-4a即可，根據絕對值的意義求出|2-x|+|3+x|的最小值即可；
（4）通過討論x以及m的范圍去掉絕對值號，從而求出不等式的解集即可．

解答 解：（1）x≥4時：x-3+x-4＜2，解得：x＜$\frac{9}{2}$，
3＜x＜4時：x-3+4-x=1＜2，成立，
x≤3時：3-x+4-x＜2，解得：x＞$\frac{5}{2}$，
故不等式的解集是：{x|$\frac{5}{2}$＜x＜$\frac{9}{2}$}；
（2）①x≥4 時（x-4）+（x-3）＜a
f（x）=2x-7在x≥4上單調遞增
x=4時取最小值1．
若要求不等式無解，
則a小于或等于該最小值即可．
即a≤1；
②當4＞x＞3時（4-x）+（x-3）＜a
則1＜a
若要求不等式無解，則a≤1．
否則不等式的解集為全集
③x≤3時（4-x）+（3-x）＜a
則7-2x＜a
在x≤3區(qū)間，不等式左端的函數(shù)單調遞減．
在x=3時取最小值1．
若要求不等式無解，則a≤1
綜合以上a≤1；
（3）若對任意x∈R，|2-x|+|3+x|≥a²-4a恒成立，
只需求出|2-x|+|3+x|的最小值大于等于a²-4a即可，
根據絕對值的意義得：|2-x|+|3+x|的最小值是5，
∴a²-4a≤5，解得：-1≤a≤5；
（4）已知m∈R，解關于x的不等式1-x≤|x-m|≤1+x
①當x≥m時：
不等式變?yōu)?1-x≤x-m≤1+x 解得x≥$\frac{m+1}{2}$ （m≥-1），
當m＜-1時：解集是空集，
當m≥1時，得解集 x≥m，
當-1≤m≤1時 得解集 x≥$\frac{m+1}{2}$，
②當x≤m時：
不等式變?yōu)?1-x≤-（x-m）≤1+x 解得：$\frac{m+1}{2}$≤x≤m （m≥1）．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，絕對值的幾何意義，以及分類討論思想，是一道中檔題．