Question

已知二次函數(shù)f（x）的二次項系數(shù)為a（a＜0），且f（x）=-2x的實數(shù)根為1和3，若函數(shù)y=（x）+6a只有一個零點，求f（x） 的解析式．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)f（x）=ax²+bx+c，由已知得ax²+bx+c=-2x的實數(shù)根為1和3，從而b=-2-4a，c=3a，由y=f（x）+6a只有一個零點，得：b²-4a（c+6a）=0，由此能求出f（x）=x²-6x+3．

解答： 解：設(shè)f（x）=ax²+bx+c，
∵二次函數(shù)f（x）的二次項系數(shù)為a（a＜0），∴函數(shù)圖象開口向下，
∵f（x）=-2x 的實數(shù)根為1和3，∴ax²+bx+c=-2x的實數(shù)根為1和3
整理上式：ax²+（b+2）x+c=0，
將兩個實根代入得如下兩式：

a+(b+2)+c=0 a•32+(b+2)•3+c=0

，
由上兩式得：b=-2-4a，c=3a，
∵y=f（x）+6a只有一個零點，
∴函數(shù)y=ax²+bx+c+6a的頂點橫坐標(biāo)就是它唯一的0點橫坐標(biāo)，且△=0，
即：b²-4a（c+6a）=0，
將b=-2-4a，c=3a，代入得：5a²-4a+1=0，
解得a=-

1

5

或a=1（舍），
b=-2-4×（-

1

5

）=-

6

5

，c=3×（-

1

5

）=-

3

5

，
所以f（x）=-

1

5

x²-

6

5

x-

3

5

．

點評：本題二次函數(shù)的解析式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意二次函數(shù)的性質(zhì)的合理運用．