【題目】已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)在點處的切線方程；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3） 求證：當(dāng)時，恒成立.

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到切線斜率，利用點斜式得到切線方程；

（2）解不等式即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）要證恒成立，即證恒成立.分別求左側(cè)函數(shù)與右側(cè)函數(shù)的最小值與最大值即可.

（1）解：∵，，

∴.

∴.又∵，

∴，即.

∴函數(shù)在點處的切線方程為.

（2）解：函數(shù)的定義域為.

，

當(dāng)時，；當(dāng)時，.

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（3）證明：由，得，

∴要證恒成立，即證恒成立.

令，，.

∵，

∴當(dāng)時，，為增函數(shù)；

當(dāng)時，，為減函數(shù).

∴.

又∵，

∴當(dāng)時，，為增函數(shù)；

當(dāng)時，，為減函數(shù).

∴.

∴恒成立.

∴當(dāng)時，恒成立.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某地通過市場調(diào)查得到西紅柿種植成本（單位：元/千克）與上市時間（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表：

時間

種植成本

（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)能夠比較準確描述與的變化關(guān)系，請求出函數(shù)的解析式；

（2）利用選取的函數(shù)，求西紅柿最低種植成本及此時的上市天數(shù).

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在中，三個內(nèi)角所對的邊分別為，滿足.

（1） 求角的大��；

（2） 若，求，的值.（其中）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校高二（20）班共50名學(xué)生，在期中考試中，每位同學(xué)的數(shù)學(xué)考試分數(shù)都在區(qū)間內(nèi)，將該班所有同學(xué)的考試分數(shù)分為七個組：，，，，，，，繪制出頻率分布直方圖如圖所示.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這次考試學(xué)生成績的中位數(shù)和平均數(shù)；

（2）已知成績?yōu)?04分或105分的同學(xué)共有3人，現(xiàn)從成績在中的同學(xué)中任選2人，則至少有1人成績不低于106分的概率為多少？（每位同學(xué)的成績都為整數(shù)）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù)的定義域為,且對任意,有,且當(dāng)時.

（1）證明:是奇函數(shù);

（2）證明:在上是減函數(shù);

（3）求在區(qū)間上的最大值和最小值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4—5：不等式選講

已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時，解不等式；

（2）若存在實數(shù)，使得不等式成立，求實的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】橢圓（）的離心率是，點在短軸上，且。

（1）球橢圓的方程；

（2）設(shè)為坐標(biāo)原點，過點的動直線與橢圓交于兩點。是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對于函數(shù)，若，則稱為的“不動點”；若，則稱為的“穩(wěn)定點”．函數(shù)的“不動點”和“穩(wěn)定點”的集合分別記為和，即，．

（）設(shè)函數(shù)，求集合和．

（）求證：．

（）設(shè)函數(shù)，且，求證：．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， 為函數(shù)的極值點.

（1）證明：當(dāng)時， ；

（2）對于任意，都存在，使得，求的最小值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案