Question

【題目】已知函數(shù)（為實數(shù)）．

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；

（2）設(shè)函數(shù)（其中為常數(shù)），若函數(shù)在區(qū)間上不存在極值，且存在滿足，求的取值范圍；

（3）已知，求證：．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）由導(dǎo)數(shù)幾何意義得，先求導(dǎo)數(shù)，代入得切線斜率為2，因為，所以根據(jù)點斜式可得切線方程（2）不存在極值，即函數(shù)導(dǎo)數(shù)不變號，先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，因此或，存在性問題，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值：即由存在滿足，得，結(jié)合二次函數(shù)最值求法，即對稱軸與對應(yīng)區(qū)間位置關(guān)系分類討論：①當(dāng)或，；②當(dāng)，；③當(dāng)，，再分別求解對應(yīng)不等式，得的取值范圍；（3）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，關(guān)鍵在于構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)：，可利用導(dǎo)數(shù)得，因此有不等式，令，則，最后根據(jù)疊加法可證不等式

試題解析：（1）當(dāng)時，，，

則，，

∴函數(shù)的圖象在點處的切線方程為：，即．

（2），由，解得，

由于函數(shù)在區(qū)間上不存在極值，所以或，

由于存在滿足，所以，

對于函數(shù)，對稱軸，

①當(dāng)或，即或時，，

由，即，結(jié)合或可得：或；

②當(dāng)，即時，，

由，即，結(jié)合可知：不存在；

③當(dāng)，即時，；

由，即，結(jié)合可知：，

綜上可知，的取值范圍是．

（3）證明：當(dāng)時，，

當(dāng)時，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，單調(diào)遞減，

∴在處取得最大值，

即，∴，

令，則，即，

∴ ，

故．