Question

位于函數(shù)y=3x+

13

4

的圖象上的一系列點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…這一系列點的橫坐標構(gòu)成以-

5

2

為首項，-1為公差的等差數(shù)列x_n．
（1）求點P_n的坐標；
（2）設(shè)拋物線C₁，C₂，C₃，…C_n，…中的第一條的對稱軸都垂直于x軸，對于n∈N*第n條拋物線C_n的頂點為P_n，拋物線C_n過點D_n（0，n²+1），且在該點處的切線的斜率為k_n，求證

1

k1k2

+

1

k2k3

+…+

1

kn-1kn

＜

1

10

．

Answer 1

分析：（1）位于函數(shù)y=3x+

13

4

的圖象上的一系列點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…這一系列點的橫坐標構(gòu)成以-

5

2

為首項，-1為公差的等差數(shù)列x_n
（2）欲證

1

k1k2

+

1

k2k3

+…+

1

kn-1kn

＜

1

10

，關(guān)鍵是求得

1

k1k2

+

1

k2k3

+…+

1

kn-1kn

．先設(shè)出C_n的方程，把D點代入求得a，進而對函數(shù)進行求得求得切線的斜率，即k_n的表達式，進而用裂項法求得

1

k1k2

+

1

k2k3

+…+

1

kn-1kn

．

解答：解：（1）由于P_n的橫坐標構(gòu)成以 -

5

2

為首項，-1為公差的等差數(shù)列{x_n}，
故 xn=x1+(n-1)d=-

5

2

-(n-1)=-n-

3

2

．
又P_n（x_n，y_n）位于函數(shù) y=3x+

13

4

的圖象上，
所以y _=3xn+

13

4

=3(-n-

3

2

)+

13

4

=-3n-

5

4

．
所求點P_n（x_n，y_n）的坐標為（ -n-

3

2

，-3n-

5

4

)．
（2）∵C_n的對稱軸垂直于x軸，且頂點為P_n，
∴設(shè)C_n的方程為 y=a(x+

2n+3

2

)2-

12n+5

4

．
把D_n（0，n²+1）代入上式，得a=1，
∴C_n的方程為y=x²+（2n+3）x+n²+1．
∵k_n=y'|_x=0=2n+3，
∴

1

kn-1kn

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

[

1

(2n+1)

-

1

(2n+3)

]，
∴

1

k1k2

+

1

k2k3

+

1

kn-1kn

=

1

2

[(

1

5

-

1

7

)+(

1

7

-

1

9

)++(

1

2n+1

-

1

2n+3

)]
=

1

2

(

1

5

-

1

2n+3

)=

1

10

-

1

4n+6

．
故得：

1

k1k2

+

1

k2k3

+…+

1

kn-1kn

＜

1

10

．

點評：本題考查的知識點是等差數(shù)列的通項公式，及直線的方程，由由P_n的橫坐標構(gòu)成等差數(shù)列{x_n}，我們不難根據(jù)已知求出數(shù)列{x_n}的通項公式，代入直線方程，求出對應(yīng)的縱坐標，即可得到點的坐標．本題還考查了數(shù)列求和問題．考查了用裂項法求和的方法運用和對數(shù)列基礎(chǔ)知識的綜合運用．