Question

如果對(duì)于區(qū)間I 內(nèi)的任意x，都有f（x）＞g（x），則稱在區(qū)間I 上函數(shù)y=f（x）的圖象位于函數(shù)y=g（x）圖象的上方．
（1）已知a＞b＞1，求證：在（1，+∞）上，函數(shù)y=log_bx的圖象位于y=log_ax的圖象的上方；
（2）若在區(qū)間[

1

2

， 2]上，函數(shù)f（x）=4^x+m的圖象位于函數(shù)g（x）=2^x+1-3x圖象的上方，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）即證log_bx＞log_ax對(duì)x∈（1，+∞）恒成立，根據(jù)a＞b＞1，且x∈（1，+∞）利用對(duì)數(shù)的單調(diào)性判斷出0＜log_xb＜log_xa，再利用換底公式即可得到證明的結(jié)論；
（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為f（x）＞g（x）對(duì)x∈[

1

2

， 2]恒成立，利用參變量分離的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，解之即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）∵x∈（1，+∞），
∴y=log_xt是單調(diào)遞增函數(shù)，
∵a＞b＞1，
∴0＜log_xb＜log_xa，
∴

1

logxb

＞

1

logxa

，再根據(jù)換底公式，
∴l(xiāng)og_bx＞log_ax，
∴在（1，+∞）上，函數(shù)y=log_bx的圖象位于y=log_ax的圖象的上方．
（2）∵在區(qū)間[

1

2

， 2]上，函數(shù)f（x）=4^x+m的圖象位于函數(shù)g（x）=2^x+1-3x圖象的上方，
∴4^x+m＞2^x+1-3x對(duì)任意x∈[

1

2

，2]恒成立，
∴m＞-4^x+2•2^x-3x在[

1

2

，2]上恒成立，即m＞[-4^x+2•2^x-3x]_max，
令t=2^x，
∵x∈[

1

2

，2]，則

2

≤t≤4，
∴y=-4^x+2•2^x-3x=-t²+2t-3log₂t，
記h（t）=-t²+2t-3log₂t，
∵y=-t²+2t在[

2

， 4]上是減函數(shù)，y=-3log₂t在[

2

， 4]上也是減函數(shù)，
∴函數(shù)h（t）=-t²+2t-3log₂t在[

2

， 4]上是減函數(shù)，
∴h（t）在[

2

， 4]的最大值為h(

2

)=-2+2

2

-3log2

2

=2

2

-

7

2

，
∴m＞[-4^x+2•2^x-3x]_max=2

2

-

7

2

，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍象是m＞2

2

-

7

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的恒成立問(wèn)題，以及對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算，涉及了對(duì)數(shù)的換底公式．對(duì)于函數(shù)的恒成立問(wèn)題，一般會(huì)選用參變量分離的方法進(jìn)行處理，再分離時(shí)有時(shí)要注意是否進(jìn)行分類討論，然后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題．本題是應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求解最值．屬于中檔題．