Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M、N分別是橢圓＝1的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連結(jié)AC，并延長交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k.

(1)若直線PA平分線段MN，求k的值；

(2)當(dāng)k＝2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d；

(3)對(duì)任意k>0，求證：PA⊥PB..

 

Answer 1

（1）（2）（3）見解析

【解析】(1)【解析】
由題設(shè)知，a＝2，b＝，故M(－2，0)，N(0，－)，所以線段MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為.由于直線PA平分線段MN，故直線PA過線段MN的中點(diǎn)．又直線PA過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以k＝＝.

(2)【解析】
將直線PA的方程y＝2x代入橢圓方程＝1，解得x＝±，因此P，A.于是C，直線AC的斜率為＝1，故直線AB的方程為x－y－＝0.因此，d＝

(3)證明：設(shè)P(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1>0，x2>0，x1≠x2，A(－x1，－y1)，C(x1，0)，設(shè)直線PA、PB、AB的斜率分別為k、k1、k2.因?yàn)镃在直線AB上，所以k2＝.從而k1k＋1＝2k1k2＋1＝2·＋1＝＝0.因此k1k＝－1，所以PA⊥PB