Question

已知F₁、F₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（-1，

2

2

）在橢圓上，且橢圓的離心率為

2

2

．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）⊙O是以F₁F₂為直徑的圓，直線(xiàn)l：y=kx+m與⊙O相切，且與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B．當(dāng)

OA

•

OB

=λ，且

2

3

≤λ≤

3

4

，求△AOB面積S的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：綜合題

分析：（Ⅰ）由點(diǎn)P（-1，

2

2

）在橢圓上，且橢圓的離心率為

2

2

，求出a，b，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）由圓O與直線(xiàn)l相切，知

|m|

k2+1

=1，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由直線(xiàn)l與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)，得到k²＞0，由此能推導(dǎo)出△AOB的面積S的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵點(diǎn)P（-1，

2

2

）在橢圓上，且橢圓的離心率為

2

2

，
∴

1

a2

+

1 2

b2

=1，

c

a

=

2

2

，
∴a=

2

，b=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）∵圓O與直線(xiàn)l相切，∴

|m|

k2+1

=1，即m²=k²+1，
聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓，消去y，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∵直線(xiàn)l與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)，∴△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0，
∴k²＞0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁•x₂=

2m2-2

1+2k2

，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=

1-k2

1+2k2

，

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

1+k2

1+2k2

=λ，
∵

2

3

≤λ≤

3

4

，
∴

2

3

≤

1+k2

1+2k2

≤

3

4

，
∴

1

2

≤k²≤1，
S=S_△ABO=

1

2

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2(k4+k2) 4(k4+k2)+1

，
 設(shè)u=k⁴+k²，則

3

4

≤u≤2，S=

2u 4u+1

，u∈[

3

4

，2]，
∵S關(guān)于u在[

3

4

，2]單調(diào)遞增，S（

3

4

）=

6

4

，S（2）=

2

3

，
∴

6

4

≤S≤

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．