Question

已知函數(shù)f（x）=

|log3x|，0＜x＜3 1 3 x2- 10 3 x+8，x≥3

，關(guān)于x的方程f（x）=t有如下結(jié)論：
①任意實(shí)數(shù)t∈（-

1

3

，0），該方程都只有兩根且兩根之和為10；
②t=1是該方程有三個(gè)根的充分條件；
③該方程不可能只有一根；
④若該方程有四個(gè)根，則該四個(gè)根之和的范圍是（12，

40

3

）．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是

 

（填出所有正確結(jié)論的序號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先配方求出函數(shù)的最小值，畫出y=f（x）的圖象和直線y=t，通過(guò)圖象觀察：直線的平移，與f（x）的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化，即可判斷．

解答： 解：∵

1

3

x²-

10

3

x+8=

1

3

（x-5）²-

1

3

，
∴x=5時(shí)，取得最小值，且為-

1

3

．
畫出y=f（x）的圖象和直線y=t，
由圖象觀察得到：
①當(dāng)t∈（-

1

3

，0），方程f（x）=t都只有兩根且兩根之和為10，故①對(duì)；
②t=1時(shí)，該方程有三個(gè)根，故t=1是該方程有三個(gè)根的充分條件，故②對(duì)；
③t=-

1

3

時(shí)，該方程只有一個(gè)根，故③錯(cuò)；
④若該方程有四個(gè)根，由小到大設(shè)為x₁，x₂，x₃，x₄，則1+1+10＜x₁+x₂+x₃+x₄＜

1

3

+3+10，
即該四個(gè)根之和的范圍是（12，

40

3

），故④對(duì)．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)的圖象及應(yīng)用，考查函數(shù)的最值和運(yùn)用，同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題．