Question

如圖，在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，過(guò)EF任作一個(gè)平面α分別與直線BC，AD相交于點(diǎn)G，H，則下列結(jié)論正確的是

 

．
①對(duì)于任意的平面α，都有直線GF，EH，BD相交于同一點(diǎn)；
②存在一個(gè)平面α₀，使得點(diǎn)G在線段BC上，點(diǎn)H在線段AD的延長(zhǎng)線上；
③對(duì)于任意的平面α，都有S_△EFG=S_△EFH；
④對(duì)于任意的平面α，當(dāng)G，H在線段BC，AD上時(shí)，幾何體AC-EGFH的體積是一個(gè)定值．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離,簡(jiǎn)易邏輯

分析：①取AD的中點(diǎn)H，BC的中點(diǎn)G，則EGFH在一個(gè)平面內(nèi)，此時(shí)直線GF∥EH∥BD；
③不存在一個(gè)平面α₀，使得點(diǎn)G在線段BC上，點(diǎn)H在線段AD的延長(zhǎng)線上；
③分別取AC、BD的中點(diǎn)M、N，則BC∥平面MENF，AD∥平面MENF，且AD與BC到平面MENF的距離相等，可得對(duì)于任意的平面α，都有S_△EFG=S_△EFH．
④對(duì)于任意的平面α，當(dāng)G，H在線段BC，AD上時(shí)，可以證明幾何體AC-EGFH的體積是四面體ABCD體積的一半．

解答： 解：①取AD的中點(diǎn)H，BC的中點(diǎn)G，則EGFH在一個(gè)平面內(nèi)，此時(shí)直線GF∥EH∥BD，因此不正確；
③不存在一個(gè)平面α₀，使得點(diǎn)G在線段BC上，點(diǎn)H在線段AD的延長(zhǎng)線上；
③分別取AC、BD的中點(diǎn)M、N，則BC∥平面MENF，AD∥平面MENF，且AD與BC到平面MENF的距離相等，因此對(duì)于任意的平面α，都有S_△EFG=S_△EFH．
④對(duì)于任意的平面α，當(dāng)G，H在線段BC，AD上時(shí)，可以證明幾何體AC-EGFH的體積是四面體ABCD體積的一半，因此是一個(gè)定值．
綜上可知：只有③④正確．
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面平行的判定與性質(zhì)定理、三角形的中位線定理，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．