13．已知橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1（0＜b＜2）$，左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，若|BF2|+|AF2|的最大值為6，則b的值是$\sqrt{2}$．

分析 由題意可知橢圓是焦點在x軸上的橢圓，利用橢圓定義得到|BF2|+|AF2|=8-|AB|，再由過橢圓焦點的弦中通徑的長最短，可知當(dāng)AB垂直于x軸時|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|=8-|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于6列式求b的值．

解答 解：由0＜b＜2可知，焦點在x軸上，
∵過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，∴|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=8
∴|BF2|+|AF2|=8-|AB|．
當(dāng)AB垂直x軸時|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，
此時|AB|=b2，∴6=8-b2，
解得b=$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了橢圓的定義，解答此題的關(guān)鍵是明確過橢圓焦點的弦中通徑的長最短，是中檔題．

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