Question

設函數(shù)f（x）=3sin（ωx+

π

6

），ω＞0，x∈（-∞，+∞），且f（x）以

π

2

為最小正周期．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知f（

α

4

+

π

12

）=

9

5

，求sinα的值．
（3）求f（x）的單調增區(qū)間．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）通過函數(shù)的周期，求出ω，即可得到f（x）的解析式；
（2）通過f（

α

4

+

π

12

）=

9

5

，求出cosα，然后求sinα的值．
（3）通過正弦函數(shù)的單調增區(qū)間直接求解f（x）的單調增區(qū)間．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=3sin（ωx+

π

6

），ω＞0，x∈（-∞，+∞），且f（x）以

π

2

為最小正周期．
∴T=

π

2

=

2π

ω

，∴ω=4，∴函數(shù)f（x）=3sin（4x+

π

6

）．
（2）f（

α

4

+

π

12

）=

9

5

，得3sin[4×(

α

4

+

π

12

)+

π

6

]=

9

5

，即sin(α+

π

2

)=

3

5

．
∴cosα=

3

5

，…（8分）
∴sinα=±

1-cos2α

=±

1-( 3 5 )2

=±

4

5

．…（10分）
（3）由-

π

2

+2kπ≤4x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z．得
-

π

6

+

kπ

2

≤x≤

π

12

+

kπ

2

，k∈Z．
∴f（x）的單調增區(qū)間[-

π

6

+

kπ

2

，

π

12

+

kπ

2

]               …（14分）

點評：本題考查三角函數(shù)的解析式以及三角函數(shù)的基本關系式以及正弦函數(shù)的單調性的應用．