Question

【題目】甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進(jìn)行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與

輪空者進(jìn)行比賽，而前一局的失敗者輪空．比賽按這種規(guī)則一直進(jìn)行到其中一人連勝兩局或打滿6局時(shí)停止．設(shè)在每局中參賽者勝負(fù)的概率均為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，求：

(1)打滿3局比賽還未停止的概率；

(2)比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)ξ的分布列與期望E(ξ)．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】令A(yù)k，Bk，Ck分別表示甲、乙、丙在第k局中獲勝．

(1)由獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生與互斥事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率公式知，打滿3局比賽還未停止的概率為P(A1C2B3)＋P(B1C2A3)＝＋＝.

(2)ξ的所有可能值有2，3，4，5，6，且

P(ξ＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝＋＝，

P(ξ＝3)＝P(A1C2C3)＋P(B1C2C3)＝＋＝，

P(ξ＝4)＝P(A1C2B3B4)＋P(B1C2A3A4)＝＋＝，

P(ξ＝5)＝P(A1C2B3A4A5)＋P(B1C2A3B4B5)＝＋＝，

P(ξ＝6)＝P(A1C2B3A4C5)＋P(B1C2A3B4C5)＝＋＝.

故ξ的分布列為：

ξ	2	3	4	5	6
P

從而E(ξ)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝.