Question

【題目】已知，設(shè)函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）是否存在整數(shù)，對于任意，關(guān)于的方程在區(qū)間上有唯一實數(shù)解？若存在，求的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當時，單調(diào)遞減區(qū)間是，當時，單調(diào)遞減區(qū)間是和，單調(diào)遞增區(qū)間是

（2）存在，

【解析】

（1）根據(jù)題意單調(diào)，求導(dǎo)，令，分，兩者情況討論求解.

（2）先求時，的根，得到區(qū)間，當時，求導(dǎo) ，討論，時，，當且，利用等比數(shù)列求和公式得到，分析得，得到在R上是減函數(shù)，再論證，，利用零點存在定理得到結(jié)論.

（1）因為，

所以，，

令，

，

當時，，，所以在R上單調(diào)遞減，

當時，，方程有兩個不等根，

當時，，當時，，當時，，

所以在遞減，在上遞增.

綜上：當時，的減區(qū)間是，

當時， 的減區(qū)間是，，增區(qū)間是.

（2）存在，對于任意，關(guān)于的方程在區(qū)間上有唯一實數(shù)解，理由如下：

當時，，令，解得，

所以關(guān)于的方程有唯一實數(shù)解.

當時，，，

若，則，

若，，

若且，，當時，，所以

當時，，所以，

故在R上是減函數(shù).

又，

，

，

，

所以方程在區(qū)間上有唯一實數(shù)解.

綜上：對于任意，關(guān)于的方程在區(qū)間上有唯一實數(shù)解，所以.