Question

下列說法正確的個數(shù)為（　�。�
①“x＞y”是“l(fā)gx＞lgy”的充要條件；
②“a＞b”是“ac²＞bc²”的必要不充分條件；
③“k=

3

”是“直線y=kx+2與圓x²+y²=1相切”的充分不必要條件；
④“α＞β”是“sinα＞sinβ”既不充分又不必要條件．

• A、3 個
• B、4 個
• C、1 個
• D、2個

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：①，令x=1，y=0，滿足x＞y，但lg0無意義，可判斷①；
②，a＞b，c=0，不能⇒ac²＞bc²，可判斷②；
③，利用圓心到直線的距離d與該圓的半徑1的關(guān)系可判斷“k=

3

”是“直線y=kx+2與圓x²+y²=1相切”的充分不必要條件，可判斷③；
④，舉例如

2π

3

＞

π

2

，但sin

2π

3

＜sin

π

2

不充分成立，sin

π

2

＞sin

2π

3

，不能⇒

π

2

＞

2π

3

，可判斷④．

解答： 解：對于①，“x＞y”不能⇒“l(fā)gx＞lgy”，如x=1，y=0，滿足x＞y，但lg0無意義，故充分性不成立，故①錯誤；
對于②，a＞b，c=0，不能⇒ac²＞bc²，即充分性不成立；反之，則可，即必要性成立；
所以“a＞b”是“ac²＞bc²”的必要不充分條件，故②正確；
對于③，因為圓x²+y²=1的圓心（0，0）到直線y=

3

x+2的距離d=

|0× 3 -0+2|

( 3 )2+(-1)2

=1，
所以直線y=

3

x+2與圓x²+y²=1相切，即充分性成立；由于直線y=

3

x+2過定點A（0，2），該定點A在圓x²+y²=1之外，過點A的與該圓的切線應(yīng)有兩條，其斜率分別為±

3

，故必要性不成立，
所以“k=

3

”是“直線y=kx+2與圓x²+y²=1相切”的充分不必要條件，即③正確；
對于④，α＞β不能⇒sinα＞sinβ，如

2π

3

＞

π

2

，但sin

2π

3

＜sin

π

2

，充分性不成立，反之，sin

π

2

＞sin

2π

3

，不能⇒

π

2

＞

2π

3

，即必要性也不成立，
所以“α＞β”是“sinα＞sinβ”既不充分又不必要條件，故④正確．
綜上所述，說法正確的個數(shù)為3個，
故選：A．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查充分必要條件的概念及應(yīng)用，考查不等式的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系及三角函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．