精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=2Acos2
π
6
x+φ)-A(X∈R,A>0,|φ|<
π
2
),y=f(x)的部分圖象如圖所示,P、Q分別為該圖象的最高點和最低點,點P的坐標(biāo)為(1,A)
(1)求f(x)的最小正周期及φ的值;
(2)若點R的坐標(biāo)為(1,0),∠PRQ=
3
,求△PRQ的面積.
分析:(1)利用二倍角公式化簡函數(shù)f(x)的解析式為Acos(
π
3
x+2φ),由此求得函數(shù)的周期.再把點P(1,A)代入函數(shù)的解析式,可得cos(
π
3
+2φ)=1,結(jié)合 φ的范圍求得 φ的值.
(2)設(shè)點Q的坐標(biāo)為(x0,-A),求得得 x0=4,在△PQR中,∠PRQ=
3
,由余弦定理求得A的值,再由 S△PRQ=
1
2
RP•RQ•sin
3
=
1
2
•A•
9+A2
•sin
3
,運算求得結(jié)果.
解答:解:(1)∵函數(shù)f(x)=2Acos2
π
6
x+φ)-A=A[2cos2
π
6
x+φ)-1)=Acos(
π
3
x+2φ),
故函數(shù)的周期為T=
π
3
=6,
再由點P(1,A),可得 Acos(
π
3
+2φ)=A,cos(
π
3
+2φ)=1.
精英家教網(wǎng)
又因為|φ|<
π
2
,所以 φ=-
π
6
.   …(6分)
(2)設(shè)點Q的坐標(biāo)為(x0,-A),由題意可知
π
3
x0-
π
3
=π,得 x0=4,所以Q(4,-A).
連接PQ,則 PQ2=(4-1)2+(-A-A)2=9+4A2
又因為 RP=A,RQ2=(4-1)2+(-A-0)2=9+A2,
在△PQR中,∠PRQ=
3
,由余弦定理得 cos∠PRQ=
RP2+RQ2-PQ2
2RP•RQ
=
A2+9+A2-(9+4A2)
2A•
9+A2
=-
1
2

解得A2=3,∴A=
3

故S△PRQ=
1
2
RP•RQ•sin
3
=
1
2
•A•
9+A2
•sin
3
=
1
2
×
3
×
12
×
3
2
=
3
3
2
. …(12分)
點評:本題主要考查由函數(shù)y=Asin(ωx+∅)的部分圖象求解析式,y=Asin(ωx+∅)的周期性及求法,余弦定理、二倍角公式,以及三角形的面積公式,屬于中檔題.
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1
x
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