【題目】設(shè)函數(shù),其中為實數(shù).

1)已知函數(shù)是奇函數(shù),直線是曲線的切線,且, ,求直線的方程;

(2)討論的單調(diào)性.

【答案】(1) 6x+3y﹣1=02x+y+5=0 (2)見解析

【解析】試題分析:(1)根據(jù)函數(shù)g(x)=f(x)﹣f′(x)是奇函數(shù)可求出a的值,然后根據(jù)l1⊥l2可求出l1的斜率,從而可求出切點坐標(biāo),求出切線方程;

(2)先求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x),再解不等式f′(x)0和f′(x)0即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,本題需討論a與﹣和0的大小關(guān)系.

試題解析:

解:(1)∵,

∴f′(x)=ax2﹣x﹣(a+1)

g(x)=f(x)﹣f′(x)=﹣ax2+x+(a+1)=

∵函數(shù)g(x)=f(x)﹣f′(x)是奇函數(shù)∴+a=0a=﹣f′(x)=﹣x2﹣x﹣

∵l1⊥l2,l2:x﹣2y﹣8=0

∴l(xiāng)1的斜率為﹣2,即f′(x)=﹣x2﹣x﹣=﹣2解得x=1或﹣3

即切點為(1,﹣)或(﹣3,1)

∴直線l1的方程為6x+3y﹣1=02x+y+5=0

(2)f′(x)=ax2﹣x﹣(a+1)=(ax﹣a﹣1)(x+1)

當(dāng)a=0時,f′(x)=﹣x﹣1,當(dāng)x∈(﹣∞,﹣1)時,f′(x)>0,當(dāng)x∈(﹣1,+∞)時,f′(x)<0

∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(﹣∞,﹣1),單調(diào)遞減區(qū)間為(﹣1,+∞)

當(dāng)a>0時,當(dāng)x∈(﹣∞,﹣1)時,f′(x)>0,當(dāng)x∈(﹣1,1+)時,f′(x)<0,當(dāng)x∈(1++∞)時,f′(x)>0

∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(﹣∞,﹣1),(1++∞)單調(diào)遞減區(qū)間為(﹣1,1+

當(dāng)﹣<a<0時,當(dāng)x∈(﹣∞,1+)時,f′(x)<0,當(dāng)x∈(1+,﹣1)時,f′(x)>0,當(dāng)x∈(﹣1,+∞)時,f′(x)<0

∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1+,﹣1)單調(diào)遞減區(qū)間為(﹣∞,1+),(﹣1,+∞)

當(dāng)a=﹣時,f′(x)≤0恒成立,即函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為(﹣∞,+∞)

當(dāng)a<﹣時,當(dāng)x∈(﹣∞,﹣1)時,f′(x)<0,當(dāng)x∈(﹣1,1+)時,f′(x)>0,當(dāng)x∈(1+,+∞)時,f′(x)<0

∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(﹣1,1+)單調(diào)遞減區(qū)間為(﹣∞,﹣1),(1+,+∞)

練習(xí)冊系列答案
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A.
B.
C.
D.

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(1)求出2018年的利潤(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量(百輛)的函數(shù)關(guān)系式;(利潤=銷售額-成本)

(2)2018年產(chǎn)量為多少百輛時,企業(yè)所獲利潤最大?并求出最大利潤.

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A.
B.
C.
D.

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