Question

已知{a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，a₁=1，且點（

an

，a_n+1）（n∈N^*）在函數(shù)y=x²+1的圖象上．數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=b_n+2^a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_n•b_n，求{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得數(shù)列{a_n}是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列，由此能求出a_n=1+（a-1）×1=n，從而b_n+1-b_n=2ⁿ．由此利用累加法能求出b_n．
（2）由C_n=n2ⁿ-n，利用分組求和法和錯位相減法能求出{c_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（1）由已知得a_n+1=a_n+1、即a_n+1-a_n=1，又a₁=1，
所以數(shù)列{a_n}是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列．
故a_n=1+（a-1）×1=n  
從而b_n+1-b_n=2ⁿ．∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=2^n-1+2^n-2+…+2+1
=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1
（2）C_n=n2ⁿ-n
令Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，①
則2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n×2ⁿ⁺¹
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
由錯位相減法可得Tn=(n-1)•2n+1+2
從而Sn=(n-1)•2n+1+2-

n(n+1)

2

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意累加法、分組求和法和錯位相減法的合理運用．