如圖6所示，等邊三角形OAB的邊長為8，且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線E：x2＝2py(p＞0)上.

圖6
（1）求拋物線E的方程；
（2）設(shè)動(dòng)直線l與拋物線E相切于點(diǎn)P，與直線y＝－1相交于點(diǎn)Q，證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點(diǎn).
（1）x2＝4y（2）見解析
解：（1）依題意，|OB|＝8，∠BOy＝30°.
設(shè)B(x，y)，則x＝|OB|sin30°＝4，y＝|OB|cos30°＝12.
因?yàn)辄c(diǎn)B(4，12)在x2＝2py上，所以(4)2＝2p×12，解得p＝2.
故拋物線E的方程為x2＝4y.
（2）由（1）知y＝x2，y′＝x.
設(shè)P(x0，y0)，則x0≠0，且l的方程為y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－.
由得
所以Q.
假設(shè)以PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)M，由圖形的對稱性知M必在y軸上，設(shè)M(0，y1)，令·＝0對滿足y0＝ (x0≠0)的x0，y0恒成立.
由于＝(x0，y0－y1)，＝.
由·＝0，得－y0－y0y1＋y1＋＝0.
即(＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0.(*)
由于(*)式對滿足y0＝ (x0≠0)的y0恒成立，所以
解得y1＝1.
故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點(diǎn)M(0,1).
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A．B．C．D．

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