【題目】已知函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y=x3﹣3x2+2的圖象關于點( ,0)對稱,過點(1,t)僅能作曲線y=f(x)的一條切線,則實數(shù)t的取值范圍是(
A.(﹣3,﹣2)
B.[﹣3,﹣2]
C.(﹣∞,﹣3)∪(﹣2,+∞)
D.(﹣∞,﹣3)∪[﹣2,+∞)

【答案】C
【解析】解:函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y=x3﹣3x2+2的圖象關于點( ,0)對稱, 設(x,y)為y=f(x)圖象上的點,其對稱點為(1﹣x,﹣y),且在函數(shù)y=x3﹣3x2+2的圖象上,
可得﹣y=(1﹣x)3﹣3(1﹣x)2+2,即為y=f(x)=(x﹣1)3+3(1﹣x)2﹣2,
設切點為(m,n),則n=(m﹣1)3+3(1﹣m)2﹣2,
f(x)的導數(shù)為f′(x)=3(x﹣1)2+6(x﹣1)=3(x2﹣1),
可得切線的方程為y﹣n=3(m2﹣1)(x﹣m),
代入點(1,t),可得t﹣n=3(m2﹣1)(1﹣m),
化簡可得t+3=3m2﹣2m3 ,
由g(m)=3m2﹣2m3 ,
g′(m)=6m﹣6m2=6m(1﹣m),
當0<m<1時,g′(m)>0,g(m)遞增;當m<0或m>1時,g′(m)<0,g(m)遞減.
則g(m)在m=0處取得極小值0,在m=1處取得極大值1,
由過點(1,t)僅能作曲線y=f(x)的一條切線,
可得t+3=3m2﹣2m3只有一解,
則t+3>1或t+3<0,
解得t>﹣2或t<﹣3.
故選:C.

練習冊系列答案
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