【題目】若函數(shù)滿足(其中且).
(1)求函數(shù)的解析式,并判斷其奇偶性和單調(diào)性;
(2)解關(guān)于的不等式.
【答案】 (1) 見解析;(2) .
【解析】試題分析:
(1)利用換元法可得函數(shù)的解析式為,結(jié)合函數(shù)的解析式可得函數(shù)f(x)為奇函數(shù),然后分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可;
(2)結(jié)合(1)中確定的函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性脫去f符號(hào),得到不等式,求解不等式可得不等式的解集為.
試題解析:
(1)令logax=t(t∈R),則x=at,
∴f(t)= (at-a-t).
∴f(x)= (ax-a-x)(x∈R).
∵f(-x)= (a-x-ax)=- (ax-a-x)=-f(x),∴f(x)為奇函數(shù).
當(dāng)a>1時(shí),y=ax為增函數(shù),y=-a-x為增函數(shù),且>0,
∴f(x)為增函數(shù).
當(dāng)0<a<1時(shí),y=ax為減函數(shù),y=-a-x為減函數(shù),且<0,
∴f(x)為增函數(shù).∴f(x)在R上為增函數(shù).
(2)∵f(x)是R上的增函數(shù)且為奇函數(shù),∴由得
∴
∴不等式的解集為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)集合A={x|﹣1≤x≤2},B={x|x2﹣(2m+1)x+2m<0}.
(1)當(dāng)m< 時(shí),把集合B用區(qū)間表達(dá);
(2)若A∪B=A,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】曲線y=1+ 與直線y=k(x﹣2)+4有兩個(gè)交點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(4,﹣6),B(﹣4,0),C(﹣1,4),求:
(1)BC邊的垂直平分線EF的方程;
(2)AB邊的中線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),若曲線(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))上存在點(diǎn)使得,則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
討論函數(shù)的單調(diào)性;
設(shè)函數(shù)的最小值為,且關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不同的根,求實(shí)數(shù)的取值集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(1)若函數(shù)與的圖象恰好相切與點(diǎn),求實(shí)數(shù) 的值;
(2)當(dāng)時(shí), 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= ,a為常數(shù),且a∈(0,1).
(1)若x0滿足f(x0)=x0 , 則稱x0為f(x)的一階周期點(diǎn),證明函數(shù)f(x)有且只有兩個(gè)一階周期點(diǎn);
(2)若x0滿足f(f(x0))=x0 , 且f(x0)≠x0 , 則稱x0為f(x)的二階周期點(diǎn),當(dāng)a= 時(shí),求函數(shù)f(x)的二階周期點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+2alnx.
(1)若函數(shù)f(x)的圖象在(2,f(2))處的切線斜率為1,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若函數(shù) 在[1,2]上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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